Wie oft ist Funktion differenzierbar?

16.07.2022, 01:06

Hendrick

Wie oft ist Funktion differenzierbar?

Meine Frage:
Ich muss eine Funktion analysieren.

Die Funktion f(x)= x mit x0=0

Jetzt muss ich sagen, wie oft die Funktion differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Wie kann ich da genau vorgehen? Wie kann man das sehen?

16.07.2022, 05:07

adiutor62

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RE: Wie oft ist Funktion differenzierbar?
https://www.mathelounge.de/718553/konsta...differenzierbar

16.07.2022, 16:29

Hendrick

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Das habe ich mir auch schon mal angeschaut. Habe es aber trotzdem nicht ganz verstanden, wie ich genau bei meinem Beispiel vorgehen soll.

(f(x)-f(x0))/(x-x0)

Da x0=0 und f(x0)=0 folgt ja f(x)/x

Und was mache ich jetzt?

16.07.2022, 16:48

G160722

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(x-x0)/(x-x0) = 1

oder:

h-Methode:

(0+h-0)/h = h/h = 1

16.07.2022, 16:50

G160722

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PS:
https //de.wikipedia.org/wiki/Differenzenquotient

16.07.2022, 17:16

klauss

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RE: Wie oft ist Funktion differenzierbar?
Die Frage ist für den Hochschulbereich schon schwach formuliert.

Du sprichst einerseits davon, wie oft "die Funktion" differenzierbar ist, andererseits ist eine bestimmte Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ genannt, an der wohl die Differenzierbarkeit geprüft werden soll.
Ist eine Funktion nur an einer Stelle ihre Definitionsbereichs nicht differenzierbar (z. B. Betragsfunktion) wird gern davon gesprochen, "die Funktion" sei nicht differenzierbar, obwohl es eben nur um eine einzige Stelle geht.

Du kannst zweierlei versuchen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$

a) speziell $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to 0} \frac{x-0}{x-0} =\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=\lim_{x \to 0} 1 \end{eqnarray*}$

b) allgemein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0} } \frac{x-x_{0}}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0}} 1 \end{eqnarray*}$
Dann wieder für speziell $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ eine Aussage machen.

Zweiter Schritt:
Dasselbe Verfahren auf $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
oder gleich allgemein auf $\begin{eqnarray*} f(x)=c~;~ c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
anwenden und für speziell $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ eine Aussage machen.
Das wurde im anderen Forum schon vorgeführt.

16.07.2022, 17:20

Hendrick

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ok, also man erhält am Ende 1. Was genau sagt das über die differenzierbarkeit? Wo kann ich ablesen, wie oft die Funktion dann differenzierbar ist?

16.07.2022, 17:27

klauss

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RE: Wie oft ist Funktion differenzierbar?
Nach einem erfolgreichen Durchgang ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ ja offenbar zumindest 1 x differenzierbar.
Ob es 2 x differenzierbar ist, erfährst Du durch das Ergebnis des besagten zweiten Schritts mit $\begin{eqnarray*} f(x) =1 \end{eqnarray*}$ .
Wir hangeln uns also mal vor, bis wir eine endgültige Aussage machen können.

16.07.2022, 17:38

Hendrick

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Und bei dem zweiten Schritt betrachten wir x=1? Habe ich das so richtig verstanden?
Dies würde dann zu f(x)-1/f(x)-1 also x-1/x-1 führen. Dies ergibt wieder 1.

Demnach wäre f(x) unendlich oft differenzierbar oder?

16.07.2022, 17:47

klauss

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Nein, beim zweiten Schritt betrachten wir selbstverständlich wieder $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ , nun aber bei $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ . (Uns iinteressiert die Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ , aber wir haben nebenbei erfahren, dass die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ 1 ist für alle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ .)

Deshalb müssen wir uns für

Zitat:

Demnach wäre f(x) unendlich oft differenzierbar oder?

noch kurz gedulden.

16.07.2022, 17:48

G160722

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f'(x)= 1 ist eine Parallele zur x-Achse, hat also die Steigung 0

-> f''(x) = 0 (Das ist die x-Achse selbst.)

16.07.2022, 20:52

Hendrick

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Perfekt danke. Gibt es eigentlich ein kleines Schema, an dem man ungefähr sehen, ob die Funktion diffbar ist oder nicht? Oder wie oft?

Bzw. wie sehen solche Funktionen aus, die unendlich oft diffbar sind?

lxl ist ja nicht diffbar. Das sieht man ja

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