Seltsame Form der HNF

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MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Seltsame Form der HNF
Liebe Forumsgemeinde,
in einem Übungsbuch der Uni Dresden habe ich eine seltsame Form der HNF gefunden. Die Aufgabe lautet:
Man bestimme die Koordinaten eines Spiegelpunktes vom Punkt bezüglich einer Ebene .
1. (Hessesche Normalenform)
2. ..
Jetzt kenne ich die HNF nur so: und frage mich, wie man damit auf die gegebene Form kommt.
Ist das so, dass ist?
Und ?
Oder aber dass die Ebene durch den Ursprung verläuft, sodass in meiner Formel das p=0 ist und damit mit q bereits der Abstand des Punktes von der Ebene gemeint ist?
Vielen Dank für Antwort.
deuter Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke es ist müßig über nicht definierte Variablen zu spekulieren bzw. ihre Bedeutung zu erraten.
Ein gewissenhafter Aufgabensteller sollte das immer tun, denn sonst kann keiner mit Sicherheit sagen, was gemeint ist.
Falls diese essentiellen Festlegungen nicht erfolgen, dann ist das mathematisch eigentlich eine Katastrophe und ein schlechter Stil in diesem Übungsbuch.

Sinnig wäre es z.B. gewesen, wenn man schon mit P(x0|y0|z0) und E : ax+by+cz=d anfängt, dass man auch in der HNF bzw. dem Abstand d von P zu E mit diesen Variablen arbeitet :




Zitat:
Jetzt kenne ich die HNF nur so:


Oft wird in der Literatur der durch genutzte, normierte Normalenvektor der Ebene E auch kurz mit bezeichnet.
Damit würd deine Ebenengleichung äquivalent so lauten :



Wild spekuliert würde dann in der obigen Darstellung E : rn = q somit das n eigenlich n0 sein und das q entsprechend das Skalarprodukt aus n0 und p.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die HNF und die Abstandsformel sind nicht das Gleiche.
Die HNF ist nur eine andere Form der Ebenengleichung; sie entspricht der Normalvektorform.

.. Normalvektorform, a ist ein Ortsvektor zu einem Punkt der Ebene
(x - a) und n sind orthogonale Vektoren

Nach der sklaren Multiplikation ist

.. dies ist eine gängigere Form der Ebenengleichung in Normalform; c ist eine Konstante (ein skalares Produkt)

Die durch |n| dividierte Gleichung (1) ist die von dir (MMchen60) angegebene Gleichung



und dies ist bereits die HNF.

Mit lautet sie dann

.. ist der normierte Normalvektor der Ebene

So weit so gut.

Nun wird die HNF zur Bestimmung des Normalabstandes eines Punktes P (dessen Ortsvektor ist p) verwendet.
Dazu wird mittels Projektion des Vektors (p - a) auf den Vektor (Skalarprodukt!) der Normalabstand d bestimmt*:


===============================

(*) ist die Länge der Projektion auf und damit gleich dem Normalabstand.

Dies ist eine essentielle Beziehung!
Der Normalabstand ergibt sich, indem in der auf 0 gebrachten HNF die Koordinaten von x durch jene von p ersetzt werden.
Das ist alles, was man sich merken muss.

Das Vorzeichen des Normalabstandes bedarf einer weiteren Betrachtung. Die Länge selbst ist natürlich dessen Betrag.

Übrigens gelten dieselben Überlegungen analog auch in R2 für Punkt und Geradengleichung.

mY+
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Die durch |n| dividierte Gleichung (1) ist die von dir (MMchen60) angegebene Gleichung



und dies ist bereits die HNF.

Hallo, so weit ist mir ja alles klar, auch wie man mittels der HNF den Abstand zu einem Punkt bestimmt. Es ging mir um die seltsame Darstellung des Profs von der Uni Dresden. Habe jetzt auch seine Lösung dazu bekommen und das ist für mich noch verwirrender, denn da steht:

Da ist wohl der Bildpunkt und der ursprüngliche Punkt.
Und soll wohl 2 mal de Strecke vom Ursprungpunkt zum Lotfußpunkt der Ebene sein.
Aber wieso ist der Abstand des Punktes von E? Wie kommt man dazu über die HNF? Und es soll doch von gebildet werden. Wieso plötzlich von ?
deuter Auf diesen Beitrag antworten »

Damit man auch mal etwas vor Augen hat, hänge ich mal eine Skizze zur Spiegelung an.

Es gilt .
Der Knackpunkt ist der Vektor , denn dieser ist längenmäßig ein auf den Abstand von P zur Ebene geeichter Normalenvektor der Ebene E.
Wie bringt man also einen Normalenvektor auf eine gewünschte Länge k ?
Indem man ihn erst mittels Division durch seinen Betrag auf die Länge 1 bringt (normiert) und dann mit k multipliziert.

Dadurch ergibt sich

Bezeichnet man den normierten Normalenvektor wie üblich mit , dann folgt

Vergleicht man dies mit , dann muss (wie bereits in meinem ersten Beitrag erwähnt) mit n der normierte Normalenvektor gemeint sein und mit der Abstand k von Punkt und Ebene.

Aus der HNF wird mit den anderen (scheinbar willkürlich wechselnden) Bezeichnungen und der Abstand k ist für einen konkreten Punkt bzw . dann eben oder äquivalent wie von mir oben angegeben

Das q könnte dabei namensgebend für den Quotienten aus d (rechte Seite der Koordinatenform von E) und dem Betrag des Normalenvektors sein, also
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