Existenzintervalle von DFG

17.07.2022, 00:36

Sunv2

Existenzintervalle von DFG

Meine Frage:
1*)Diskutieren Sie für jedes Anfangswertproblem aus Aufgabe 1 das Existenzintervall der maximalen Lösung, wobei Sie gegebenenfalls Fallunterscheidungen treffen müssen.
$\begin{eqnarray*} 1. x'(t) = \frac{t}{x^{2}(t)} 2. x'(t) = x^{2}(t)t^{3} 3. x'(t) = \frac{t^{2}}{x(t)} 4. x'(t) = \frac{sin(t)}{exp(x(t))} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Gleichungen habe ich gelöst, aber bin mir leider sehr Unsicher wie ich die Existenzintervalle bestimmen bzw. angeben kann.

Für die 1. Gleichung habe ich $\begin{eqnarray*} x(t) = \sqrt[3]{\frac{3}{2}t^{2}+3C } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C = \frac{x_{*}^{3}}{3} - \frac{t_{*}^{2}}{2} \end{eqnarray*}$
hier hätte ich gesagt gibt es keinerlei Einschränkungen da wir jedes t einsetzen können oder?
Bei 2 habe ich $\begin{eqnarray*} x(t)= -\frac{1}{\frac{1}{4} t^{4} +C} \end{eqnarray*}$ muss man hier berücksichtigen dass der Nenner null werden könnte? Und in meiner Rechnung habe ich auch den Ausdruck 1/x bzw. beim AWP $\begin{eqnarray*} C = -\frac{1}{x_{*} } - \frac{t_{*}^{4}}{4} \end{eqnarray*}$ hier hätte ich t=0 ausgeschlossen.

und wie sieht es bei
3. $\begin{eqnarray*} x(t) = \sqrt{\frac{2t^{3}}{3}+2C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C= \frac{x_{*}^{2}}{2} - \frac{t_{*}^{3}}{3} \end{eqnarray*}$ bzw
4. $\begin{eqnarray*} x(t)= ln |-cos(t) + C| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C = exp(x_{*})+cos(t_{*}) \end{eqnarray*}$ aus?

17.07.2022, 01:28

Sunv2

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RE: Existenzintervalle von DFG
Die AWB war $\begin{eqnarray*} x(t_{*})=x_* \end{eqnarray*}$
Und bei 2 meine ich $\begin{eqnarray*} x(t)\neq0 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} t\neq0 \end{eqnarray*}$

[Und sorry btw für die teilweise nicht vorhandene Formatierung]

17.07.2022, 13:05

Huggy

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RE: Existenzintervalle von DFG

Zitat:

Original von Sunv2
Für die 1. Gleichung habe ich $\begin{eqnarray*} x(t) = \sqrt[3]{\frac{3}{2}t^{2}+3C } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C = \frac{x_{*}^{3}}{3} - \frac{t_{*}^{2}}{2} \end{eqnarray*}$
hier hätte ich gesagt gibt es keinerlei Einschränkungen da wir jedes t einsetzen können oder?

Eine Funktion kann nur dort Lösung der DGL sein, wo sie definiert ist und wo sie differenzierbar ist. Deine Funktion ist zwar überall definiert, aber nicht überall differenzierbar.

Zitat:

Bei 2 habe ich $\begin{eqnarray*} x(t)= -\frac{1}{\frac{1}{4} t^{4} +C} \end{eqnarray*}$ muss man hier berücksichtigen dass der Nenner null werden könnte?

Natürlich! Das sind die kritischen Stellen.

Außerdem ist noch der Sonderfall $\begin{eqnarray*} x_*=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten, für den deine Lösung nicht gilt.

3) und 4) können wir später betrachten.

17.07.2022, 16:05

Sunv2

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RE: Existenzintervalle von DFG
OK die erste Funktion ist für x=0 nicht diffbar, allerdings auch nur wenn C=0 gilt

Die Zweite Fkt ist bei C=0 auch bei x=0 nicht diffbar bzw. nicht definiert und bei C<0 bekommen wir eine gebrochen rationale Funktion wo die jeweils nicht definierten Stellen vom C abhängen.
Aber wie "bringe ich das in ein Intervall unter"? Da war ich mir generell schon immer unsicher und da das hier teilweise von dem C abhängt habe ich irgendwie gar keinen Plan.

17.07.2022, 16:49

Huggy

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RE: Existenzintervalle von DFG
Die unabhängige Variable ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Du musst also für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bestimmen, wo die Lösungsfunktion nicht definiert ist oder nicht differenzierbar ist. Und das hängt von den Anfangswerten ab. Dazu muss man $\begin{eqnarray*} C(x_*, t_*) \end{eqnarray*}$ in die Lösungsfunktion einsetzen. Dann sieht man die Lösungsintervalle.

Wenn man unsicher ist, hilft oft ein Plot. Hier ist der Plot für die DGL 2 mit $\begin{eqnarray*} x_*=1, t_*=0 \end{eqnarray*}$

[attach]55614[/attach].

Man sieht sofort 3 Lösungsintervalle, von den aber nur eins den Anfangswert enthält Allerdings musst du das nicht für spezielle Anfangswerte angeben, sondern allgemein als Funktion der Anfangswerte. Dabei können Fallunterscheidungen nötig sein. Schau dir mal an, wie das bei $\begin{eqnarray*} x_*=-1, t_*=0 \end{eqnarray*}$ aussähe. Da gibt es nur noch ein Lösungsintervall.

17.07.2022, 17:33

Sunv2

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RE: Existenzintervalle von DFG
Ich checke es ehrlich gesagt leider nicht, hatte mir das auch schon im Plot angeschaut aber die nicht diffbaren/definierten Stellen wandern ja mit den $\begin{eqnarray*} x_*,t_* \end{eqnarray*}$ deswegen kann man ja nicht einfach sagen "für $\begin{eqnarray*} x_*>0 \end{eqnarray*}$ gilt X" o.Ä.

17.07.2022, 18:33

Huggy

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RE: Existenzintervalle von DFG
Man muss sich schon etwas Mühe geben. Ich fange mal an. Die Lösung von DGL 2 lässt sich schreiben als:

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac {4x_*}{4-x_*(t^4-t_*^4)} \end{eqnarray*}$

Die kritischen Stellen sind die, wo der Nenner Null wird. Ich nenne sie mal $\begin{eqnarray*} t_c \end{eqnarray*}$ . Man bekommt

$\begin{eqnarray*} t_c^4=\frac4 x_*+t_*^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_c=\pm \sqrt [4] {\frac4 x_*+t_*^4} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist eine Fallunterscheidung erforderlich.

a) Sei $\begin{eqnarray*} x_*>0 \end{eqnarray*}$
Dann steht unter der Wurzel immer ein positiver Term und es gibt immer zwei kritische Stellen. Aus der Lösungsfunktion sieht man bei

$\begin{eqnarray*} -\sqrt [4] {\frac4 x_*+t_*^4}<t<\sqrt [4] {\frac4 x_*+t_*^4} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} x(t)>0 \end{eqnarray*}$ in Einklang mit der Anfangsbedingung. Damit ist das für diesen Fall das maximale Lösungsintervall.

b) $\begin{eqnarray*} x_*<0 \end{eqnarray*}$

Dann gibt es manchmal kritische Stellen und manchmal nicht. Jetzt darfst du auch mal arbeiten.

17.07.2022, 21:39

Sunv2

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RE: Existenzintervalle von DFG
Ok danke schonmal für deine Hilfe

Bei 1 habe ich mit dem Differentialquotient gezeigt, dass die Fkt. für $\begin{eqnarray*} x_* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_* = 0 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x_*^3 = 3/2\cdot t_*^2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle t = 0 nicht diffbar ist, aber das reicht so bestimmt nicht

Bei 2 b wird die Wurzel für $\begin{eqnarray*} | \frac{4}{x_*} | > t_*^4 \end{eqnarray*}$ ja negativ - also keine Lösung für die kritischen Stellen, nur wie ich das weiterverwenden soll ist mir nicht in den Sinn gekommen

3 konnte ich hoffentlich mit deiner Hilfe halbwegs lösen, da habe ich geguckt für welche t der Term negativ wird, was für $\begin{eqnarray*} t < \sqrt[3]{t_*^3-\frac{3}{2}x_*^2 } \end{eqnarray*}$ passiert

Eine vlt etwas magere Ausbeute aber ich habe einfach keine weiteren Ideen
Sorry wenn das so rüberkommt als bemühe ich mich einfach nicht richtig, mache das zum ersten Mal und stelle mich einfach richtig blöd an

18.07.2022, 13:37

Huggy

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RE: Existenzintervalle von DFG
Nachdem ich einen Teil von DGL 2 recht ausführlich erklärt hatte, hatte ich gehofft, die Sache würde dir jetzt leichter fallen. Aber wie man so sagt, aller Anfang ist schwer.

Zitat:

Original von Sunv2
Bei 1 habe ich mit dem Differentialquotient gezeigt, dass die Fkt. für $\begin{eqnarray*} x_* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_* = 0 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x_*^3 = 3/2\cdot t_*^2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle t = 0 nicht diffbar ist, aber das reicht so bestimmt nicht

Dann mache ich auch das mal recht ausführlch. DGL 1 hat (noch ohne Rücksicht auf Existenzintervalle) die Lösungsfunktion

$\begin{eqnarray*} x(t)=\sqrt [3] {\frac 3 2 (t^2-t_*^2)+x_*^3} \end{eqnarray*}$

Die kritischen Stellen $\begin{eqnarray*} t_c \end{eqnarray*}$ sind die, bei denen der Term unter der Wurzel Null wird, weil dann die Ableitung divergiert. Das führt zu:

$\begin{eqnarray*} t_c^2=t_*^2-\frac 2 3 x_*^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_c=\pm \sqrt{t_*^2-\frac 2 3 x_*^3} \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} t_*^2<\frac 2 3 x_*^3 \end{eqnarray*}$
Unter der Wurzel steht etwas Negatives. Es gibt keine kritische Stelle. Also ist das maximale Existenzintervall

$\begin{eqnarray*} -\infty <t < \infty \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} t_*^2 \geq \frac 2 3 x_*^3 \end{eqnarray*}$
Es gibt 2 kritische Stellen, die bei $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ zusammenfallen. Das maximale Existenzintervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ hängt davon ab, wo $\begin{eqnarray*} t_* \end{eqnarray*}$ relativ zu $\begin{eqnarray*} t_c \end{eqnarray*}$ liegt.

$\begin{eqnarray*} t_*< -|t_c| \Rightarrow I = (-\infty, -|t_c|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -|t_c|< t_*< |t_c| \Rightarrow I = (-|t_c|, |t_c|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_*> |t_c| \Rightarrow I = (|t_c|, \infty) \end{eqnarray*}$

Wenn man will, kann man noch den Term für $\begin{eqnarray*} t_c \end{eqnarray*}$ in die Intervalle einsetzen.

Zitat:

Bei 2 b wird die Wurzel für $\begin{eqnarray*} | \frac{4}{x_*} | > t_*^4 \end{eqnarray*}$ ja negativ - also keine Lösung für die kritischen Stellen, nur wie ich das weiterverwenden soll ist mir nicht in den Sinn gekommen.

Na, wenn es keine kritischen Stellen gibt, dann ist das maximale Existenzintervall $\begin{eqnarray*} I=(-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ . Bleibt noch der Fall zu behandeln, wenn es in 2b) kritische Stllen gibt.

Zitat:

3 konnte ich hoffentlich mit deiner Hilfe halbwegs lösen, da habe ich geguckt für welche t der Term negativ wird, was für $\begin{eqnarray*} t < \sqrt[3]{t_*^3-\frac{3}{2}x_*^2 } \end{eqnarray*}$ passiert

Ich empfehle. das noch mal nach meinem Schema aufzudröseln. Wann gibt es kritische Stellen? Wo liegen sie? Welche Existenzintervalle ergeben sich daraus für die einzelnen Fälle?

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