Bruchrechnen

18.07.2022, 11:45

AndiS

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Bruchrechnen

Hallo zusammen smile

smile

Ich bin meine Übungsaufgaben weiter am bearbeiten und kam zu folgender Aufgabe (in Latex, hehe)
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}<br /> \end{eqnarray*}$ und Ergebnis soll sein $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe dann zuerst mal den Bruch im Nenner mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ erweitert und dann den gesamten Nenner so weit wie möglich zusammen gefasst

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{1+\frac{1*\sqrt{2}}{1*\sqrt{2}+\sqrt{2}*\sqrt{2}}}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+(\sqrt{2}+2)*1}{(\sqrt{2}+2)*1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1*\sqrt{2}}{\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Das ist zwar das richtige Ergebnis, aber ich habe keine Ahnung ob das, was ich da gerechnet habe, richtig ist so wie ich es gerechnet habe - oder ob ich da irgendwelche neue Rechenregeln eingeführt habe und das Ergebnis Zufall ist Big Laugh

Big Laugh

Könnte da bitte Jemand drüber schauen? Danke.

18.07.2022, 12:15

Steffen Bühler

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RE: Bruchrechnen

Zitat:

Original von AndiS
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+(\sqrt{2}+2)*1}{(\sqrt{2}+2)*1}}<br /> \end{eqnarray*}$

Hier kürzt Du aus einer Summe. Und in der Tat ist das Ergebnis zufällig dasselbe. Aber allgemein gilt $\begin{eqnarray*} \frac {a+(a+b)}{a+b} \neq a \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

18.07.2022, 12:20

AndiS

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RE: Bruchrechnen
Hmm, ich dachte wenn ich da *1 mache und Klammern setze dann ist es ein Produkt und ich kann kürzen weil Punkt vor Strich. Ha, jetzt wo ich es schreibe bin ich noch mehr verwirrt Big Laugh

Big Laugh

18.07.2022, 12:36

Mathema

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In Zähler steht eine Summe. Daran ändert sich auch nichts, wenn du einen Summanden mit 1 multiplizierst. Bei $\begin{eqnarray*} 1\textcolor{red}{+}2=1\textcolor{red}{+}2\cdot1 \end{eqnarray*}$ steht rechts immer noch eine Summe.
Außerdem kürzt du falsch: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2} \end{eqnarray*}$ ist gekürzt 1 und nicht 0.

18.07.2022, 12:39

AndiS

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Ah, ok, danke. Wie geht man denn bei so einem Bruch wie in der Aufgabe vor?

18.07.2022, 12:40

Mathema

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Wie dividiert man denn durch einen Bruch?

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18.07.2022, 12:44

AndiS

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Na, ich denke mit Kehrwert multiplizieren

18.07.2022, 12:47

Mathema

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Ja. Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}}=1:\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}=1\cdot \ldots \end{eqnarray*}$ .

18.07.2022, 13:12

AndiS

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Hmm, hab gerade nochmal in meinen ganzen Schmierblättern nachgeschaut, hab ich gestern Abend auch mal probiert. Kam aber dann nicht mehr weiter weil ich dann zwar $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}+2}{2*\sqrt{2}+2} \end{eqnarray*}$ habe, aber dann nicht weiter kürzen kann. Ich könnte die *2 aus dem Bruch raus nehmen und hätte dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1} \end{eqnarray*}$ , da sehe ich aber auch nicht wie mich das weiter bringt verwirrt

verwirrt

18.07.2022, 13:16

Mathema

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Anstatt im Nenner 2 auszuklammern solltest lieber $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern. Dabei ist $\begin{eqnarray*} 2=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Einen Malpunkt schreibst du in $\begin{eqnarray*} \LaTeX \end{eqnarray*}$ als \cdot.

18.07.2022, 13:54

AndiS

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Ich hätte gerne 4 neue Karten. Bin total betriebsblind unglücklich

unglücklich

Ich bekomme es nicht hin.

18.07.2022, 14:11

AndiS

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Haha, doch, ich kann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und dann bleibt links $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2} \end{eqnarray*}$ stehen was sich weg kürzt und rechts bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und der Kehrwert davon ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

edit: ach quatsch

18.07.2022, 14:36

Mathema

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Nicht der Kehrwert - das wäre ja Nenner und Zähler vertauschen. Du meinst erweitert mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Das stimmt denn so.

Alternativ hätte man bei deinem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1} \end{eqnarray*}$ natürlich auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ im Zähler noch ausklammern können, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die Erweiterung am Anfang kannst du dir übrigens auch sparen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{2}+1}{1+\sqrt{2}}}=\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\ldots \end{eqnarray*}$

Dir einen schönen Tag! Wink

Wink

18.07.2022, 15:30

AndiS

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Ah, super $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern und nicht nur 1/2 ^^ Da war ich gestern Abend doch nicht so verkehrt unterwegs, hatte aber einen zu beengten Blick. Danke.

18.07.2022, 17:44

Elvis

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Bei Brüchen mit Wurzeln kann man auch an Erweitern denken, das ergibt hier eine elegante Lösung.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{2}+1}{1+\sqrt{2}}}=\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt{2})}=\frac {2+2\sqrt 2-\sqrt 2-2}{4-2}=\frac {\sqrt 2}2 \end{eqnarray*}$

Im Zähler habe ich die Klammern durch multiplizieren aufgelöst und im Nenner die 3. binomische Formel benutzt.

19.07.2022, 15:01

Ulrich Ruhnau

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RE: Bruchrechnen

Zitat:

Original von AndiS
Ich bin meine Übungsaufgaben weiter am bearbeiten und kam zu folgender Aufgabe (in Latex, hehe)
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}<br /> \end{eqnarray*}$ und Ergebnis soll sein $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Den Hauptbruch würde ich mit $\begin{eqnarray*} \left(1+\sqrt 2 \right) \end{eqnarray*}$ erweitern.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}} = \frac{1+\sqrt 2}{\left(1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)\left(1+\sqrt 2\right)} = \frac{1+\sqrt 2}{1+\sqrt 2+1}= \frac{\left(1+\sqrt 2\right)\left( 2-\sqrt 2\right)}{\left( 2+\sqrt 2\right)\left( 2-\sqrt 2\right)} = \frac{2-\sqrt 2+2\sqrt 2-2}{4-2} = \frac{\sqrt{ 2}}2=\frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

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