Anfangswertproblem mithilfe geeigneter Substitution

18.07.2022, 11:46

maths4u

Anfangswertproblem mithilfe geeigneter Substitution

Hallo!

Ich stecke wieder bei einer Aufgabe fest. Ich soll hier die Lösung folgender Anfangswertprobleme bestimmen. Aber leider konnte ich die Rechnung nicht vollständig lösen. Habe ich hier was falsch gerechnet?

18.07.2022, 13:08

loeser

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Zuerst mal die Frage:

Wie kommst du denn auf deine ganzen Rechenschritte, wer hat dir das so gezeigt ?
Du sagtest im anderen Thread ja was von "ihr solltet das so und so machen".
Aber wo zauberst du Integralgrenzen her, wo doch gar keine gegeben sind ?
Wie substituierst du etwas mit einem e-Term und plötzlich ist er beim Ableiten verschwunden ?
Warum substituierst du hier überhaupt ?

Zeige doch ruhig mal ein Beispiel aus deiner Vorlesung, was dich dazu verleitet so vorzugehen, wie du es tust.

Zur Aufgabe selbst :

Es geht vom Prinzip her vom Ansatz genau so wie bei deiner anderen Aufgabe.
Nach der Trennung der Variablen in der DGL erhält man :

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=e^{2x} \cdot e^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-y} \cdot dy=e^{2x} \cdot dx \end{eqnarray*}$

18.07.2022, 14:05

maths4u

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In der VO sind wir immer so vorgegangen, wie ich's auch oben gerechnet habe. Ich lade hier mal ein Beispiel aus der VO hoch, damit du meine Schritte besser nachvollziehen kannst. Der prof. hat uns auch deinen Rechenweg gezeigt, aber er meinte, dass die Methode mit der Substitution besser sei und wir deswegen immer mit der Substitution gerechnet haben. Deswegen ist mir die Substitution lieber, da ich dann meine Mitschriften besser nachvollziehen kann.

das ist die Rechnung vom prof:

18.07.2022, 17:11

loeser

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Naja, wenn man auf möglichst viel Aufwand steht (was einem in der Klausur mächtig Zeit kostet), dann macht man es wie dein Prof Big Laugh

Damit wäre der Ansatz hier :

$\begin{eqnarray*} \frac{y'(x)}{e^{y(x)}}=e^{2x} \end{eqnarray*}$

Schreibe dir das lieber wie folgt um, denn es führt nicht immer zum Ziel, wenn man pauschal den Nennerterm substituiert:

$\begin{eqnarray*} y'(x) \cdot e^{-y(x)}=e^{2x} \end{eqnarray*}$

Das führt zu den (das AWP direkt mit einfließend) Integralen bzw. Integralfunktionen :

$\begin{eqnarray*} \int_0^xy'(t) \cdot e^{-y(t)}~dt=\int_0^xe^{2t}~dt \end{eqnarray*}$

Substitution für das linke Integral:

-y(t) = z ----> -y'(t) dt = dz -----> y'(t) dt = - dz

Die obere Grenze x wird zu -y(x) und die untere Grenze 0 bleibt wegen y(0)=0 bei 0

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} \int_0^{-y(x)}-e^z~dz=\left[-e^z\right]_{0}^{-y(x)}= -e^{-y(x)}+1=1-e^{-y(x)} \end{eqnarray*}$

Für das rechte Integral ergibt sich analog die Substitution 2t = z

Vielleicht schaffst du es ja jetzt, das zu Ende zu führen.

18.07.2022, 20:23

maths4u

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Erstmal vielen vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
Die rechte Seite habe ich versucht zu lösen, aber die Probe zeigt mir, dass ich falsch gerechnet habe. Stimmt die Berechnung so oder habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut?

18.07.2022, 20:47

loeser

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Die Integration hast du perfekt durchgeführt. Freude

Der Fehler passiert in der ersten Zeile beim Gleichsetzen (rechts unten auf deinem Blatt).
Du logarithmierst da einfach ungehemmt jeden Summanden einzeln.
Die Regel ln(a+b)=ln(a)+ln(b) gibt es jedoch nicht, wenn dann ln(ab)=ln(a)+ln(b) aber ein Produkt liegt hier nicht vor.

Bringe also erst die 1 rüber und dividiere dann durch -1 um die Gleichung auf die Form $\begin{eqnarray*} e^{-y(x)}= \ ~ ... \end{eqnarray*}$ zu bringen und logarithmiere dann erst, und zwar den kompletten Term auf der rechten Seite (nicht jeden Summanden einzeln).

18.07.2022, 21:51

maths4u

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Danke vielmals für die Erklärung!
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste das so aussehen:

18.07.2022, 22:58

loeser

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Du hast in der dritten Zeile den armen Summanden -1 gar nicht beachtet geschockt

Statt 1/2 müsste dort 1/2+1, also verrechnet 3/2 stehen.

Ich kam auch auf $\begin{eqnarray*} y=-ln(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x}) \end{eqnarray*}$ und die Probe sollte damit auch klappen.

Ein Vorschlag für weniger Schreibarbeit :

Man kann sich diese ganzen Substitutionen auch sparen, wenn man sich den Zusammenhang klarmacht, dass die benötigte Stammfunktion abgeleitet ja wieder die Ausgangsfunktion ergeben muss.

Hier geht es um Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax} \end{eqnarray*}$ und eine passende Stammfunktion, die abgeleitet wieder zu f(x) wird, wäre einfach $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{a} \cdot e^{ax} \end{eqnarray*}$ , wie man mit der Kettenregel leicht prüfen kann.
Noch etwas erweitert ergibt sich für $\begin{eqnarray*} f(x)=c \cdot e^{ax+b} \end{eqnarray*}$ als mögliche Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{c}{a} \cdot e^{ax+b} \end{eqnarray*}$ .

Zu Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} \end{eqnarray*}$ hatte ich im anderen Thread auch schon den Zusammenhang zu ln(x) bzw ln(u(x)) erwähnt.
Wenn du also erkennst, dass bei einem Bruch im Zähler die Ableitung des Nennerterms steht, dann kannst du statt der mühsamen Substitution auch direkt an ln(...) denken.

Nutzt du das, dann reduziert sich hier das Ganze zu:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{y}e^{-t}dt=\int_0^xe^{2t}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[-e^{-t}\right]_{0}^{y}=\left[\frac{1}{2}e^{2t}\right]_{0}^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-y}+1=\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-y}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-ln(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x}) \end{eqnarray*}$

Das hätte ich (verknüpft mit Äquivalenzpfeilen) auch alles in eine Zeile schreiben können, wodurch das im Prinzip ein Einzeiler geworden wäre. smile

19.07.2022, 09:44

maths4u

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Erstmal vielen lieben Dank für deine Erklärung und Geduld!!
Ich würde gerne noch die Variante, die du zu Beginn vorgerechnet hattest, durchgehen, da sie viel einfacher wirkt als die Substitution. Bei der Substitution verrechne ich mich ständig und das will ich vermeiden. Das mache ich zusätzlich noch als Übung. Und danke für die ganzen Tipps!
Eine Frage zu dieser Aufgabe hätte ich noch: Wie machst du die Probe? Die kleine Probe habe ich hinbekommen, indem ich für x=0 eingesetzt habe, aber die große Probe hat mir Schwierigkeiten bereitet.

19.07.2022, 10:25

loeser

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Zitat:

aber die große Probe hat mir Schwierigkeiten bereitet.

Damit meinst du bestimmt das Einsetzen der gefundenen Lösungsfunktion y in die Ausgangs-DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)=e^{2x} \cdot e^{y(x)} \end{eqnarray*}$ .
Da in dieser sowohl y als auch y ' vorkommt, muss man die gefundene Lösung zunächst mal (mit der Kettenregel) ableiten.
Hast du das noch hinbekommen oder bereitet dir das schon Probleme ?
Wie bereits erwähnt, läuft es bei Funktionen der Form f(x)=ln(u(x)) darauf hinaus, dass man als Ableitung f '(x)=u '(x)/u(x) erhält.

Das bei $\begin{eqnarray*} y=-ln(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x}) \end{eqnarray*}$ genutzt führt zu $\begin{eqnarray*} y '=- \frac{-e^{2x}}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}e^{2x}}=\frac{e^{2x}}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Und das sollte auch rauskommen, wenn man $\begin{eqnarray*} y=-ln(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x}) \end{eqnarray*}$ in die rechte Seite der Ausgangs-DGL einsetzt:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=e^{2x} \cdot e^{-ln(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x})}=e^{2x} \cdot \frac{1}{e^{ln(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x})}}=\frac{e^{2x}}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} e^{2x}} \ ~ \ \checkmark \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bei der Substitution verrechne ich mich ständig und das will ich vermeiden

Es sind eben viel mehr Dinge, auf die man achten muss und das birgt insbesondere in der Variante deines Profs doch recht viele Möglichkeiten, dass man Fehler produziert.

Du kannst ja ansonsten auch mal nachfragen, ob deinem Prof die Variante, die ich im letzten Beitrag nach "Nutzt du das, dann reduziert sich hier das Ganze zu..." vorgeführt hatte, auch so reicht oder ob er auf eine ganz bestimmte Vorgehensweise besteht.
Als Ergäzung vielleicht noch die Anmerkung, dass die unteren Integralgrenzen von der gegebenen Anfangswertbedingung $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ kommen (in dem Beispiel gilt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ ):

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0=0}^{y}e^{-t}dt=\int_{y_0=0}^xe^{2t}dt \end{eqnarray*}$

19.07.2022, 10:28

loeser

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Korrektur:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{y_0=0}^{y}e^{-t}dt=\int_{x_0=0}^xe^{2t}dt \end{eqnarray*}$

19.07.2022, 14:04

maths4u

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Perfekt, vielen vielen Dank!
Die große Probe habe ich eigentlich verstanden bis auf diese Umformung. Warum ist in der letzten Zeile 1/e^ln.. = e^2x/.. ? Die Ableitung bzw. Kettenregel habe ich verstanden, aber diesen Schritt konnte ich nicht nachvollziehen. Die Stelle habe ich gelb markiert.

Und ja, ich werde mal nachfragen, aber ich würde trotzdem deine Variante als Übung noch machen. Ich rechne weitere Übungen noch mittels Substitution durch und mache am Ende noch die andere Variante als Zusatz. Nochmals danke für deine ganzen Erklärungen.

19.07.2022, 14:22

loeser

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$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$ sind so genannte Umkehrfunktionen voneinander.
Das bedeutet, dass wenn sie miteinander verkettet werden, dann heben sie sich gegenseitig auf.
Sprich $\begin{eqnarray*} f(ln(x))=e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} g(e^x)=ln(e^x)=x \end{eqnarray*}$ .
Daher bleibt in dem Beispiel im Nenner nur noch der Term im Logarithmus übrig.

Eine Sache, die ich gestern schon erwähnen wollte, dann aber wieder vergessen hatte:

Das, was dein Professor offenbar gerne in einem Rutsch mit dem direkten Einbinden der Anfangswertbedingung $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ macht, indem er bestimmte Integrale mit Grenzen erzeugt und damit das Nutzen einer Integrationskonstante C umgeht, das funktioniert nicht mehr, wenn mehrere Bedingungen oder mal was mit Ableitungen wie y'(1)=2 im Spiel sind.
Wäre vielleicht auch eine Nachfrage wert, also ob er wirklich immer brav bei genau einer Anfangswertbedingung der Form $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ bleibt.

Viel Erfolg noch beim Üben. Wink

19.07.2022, 14:56

maths4u

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Achso, alles klar, danke vielmals!

Ja, ich werde auf jeden Fall noch fragen. Wir haben ja auch noch weitere Themen wie Differentialgleichungen erster Ordnung, die muss ich mir auch noch anschauen und da ist es bestimmt hilfreich, wenn ich die andere Variante auch noch kann. Das problem bei der Substitution ist, dass ich oft nicht einschätzen kann, ob ich die Aufgaben korrekt gerechnet habe. Man kann ja nicht immer y freistellen. Daher bin ich echt dankbar, dass ich hier meine Fragen stellen darf!

Und vielen Dank smile

Ich hoffe, dass ich die weiteren Aufgaben auch noch hinkriege.

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