Stammfunktion von Vektorfeldern

20.07.2022, 14:00

MasterWizz

Stammfunktion von Vektorfeldern

Hi Leute

Scheinbar kommt es in der Physik öfter vor Vektorfelder wie z.B.
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{\|x\|^3} \end{eqnarray*}$
zu integrieren, also eine skalare Funktion zu bestimmen, deren Gradient gleich dem Vektorfeld ist.

Jetzt habe ich von einer ziemlich coolen Methode erfahren, die Physiker nutzen, aber der ich noch sehr skeptisch gegenüber stehe. Kurz wird gesagt, dass mit

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{\|x\|^3} = \frac{1}{\|x\|^2}e_x \end{eqnarray*}$

jetzt ganz einfach folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_{\infty}^x \!F(\hat{x})\,\mathrm{d}\hat{x} = \int_{\infty}^x \!\frac{1}{\|\hat{x}\|^2}\,\mathrm{d}\|\hat{x}\| = -\frac{1}{\|x\|}. \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis kann ich verifizieren, allerdings mit viel größerem Rechenaufwand. Darum würde ich mir gern diese Methode aneignen. Nur verstehe ich mehrere Punkte nicht:

(1) Warum ist die untere Integrationsgrenze Unendlich? Müsste es nicht wenn überhaupt -Unendlich sein?
(2) Was passiert mit dem normierten x-Vektor $\begin{eqnarray*} e_x = \frac{x}{\|x\|} \end{eqnarray*}$ bei der Integration?
(3) Wie funktioniert überhaupt die Integration über einen kompletten Vektor $\begin{eqnarray*} \hat{x} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \|\hat{x}\| \end{eqnarray*}$ ?
(4) Wie gehe ich vor, wenn mein Vektorfeld zB lauten würde $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x}{\|x\|} = e_x \end{eqnarray*}$ ?

21.07.2022, 08:16

Huggy

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern

Zitat:

Original von MasterWizz
$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^x \!F(\hat{x})\,\mathrm{d}\hat{x} = \int_{\infty}^x \!\frac{1}{\|\hat{x}\|^2}\,\mathrm{d}\|\hat{x}\| \end{eqnarray*}$

So etwas gibt es nicht. Man kann das Potential bei solchen Vektorfelder auch sauber ohne großen Aufwand bestimmen. Die Richtung der Vektoren liegt auf Strahlen durch den Nullpunkt. Der Betrag der Vektoren ist nur vom Abstand zum Nullpunkt abhängig, nicht aber von der Richtung. Also ist das Potential, falls existent, auch nur vom Abstand zum Nullpunkt abhängig. Man kann es für einen beliebigen Punkt bestimmen. Alle Punkte mit gleichem Abstand zum Nullpunkt haben dann dasselbe Potential. Also wählen wir einen Punkt auf der positiven $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse. Als Integrationsweg wählen wir die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse. Der Nullpunkt kann nicht als Referenzpunkt gewählt werden, weil dort nicht nur das Vektorfeld divergiert, sondern auch das Potential. Man kann aber $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als Referenzpunkt wählen, weil das Vektorfeld gegen Unendlich genügend stark abfällt. Bei einem Punkt auf der positiven $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse muss eine Grenze dann $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sein. $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht nicht, weil man wegen der Divergenz nicht über den Nullpunkt integrieren darf. Das Integral lautet dann

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=\int\limits_\infty^{x_1} \frac 1 {\hat x_1^2} d \hat x_1=-\frac 1 {x_1} \end{eqnarray*}$

Daher ist das Potential gemäß der Vorrede für einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac 1 {||x||} \end{eqnarray*}$

22.07.2022, 10:38

MasterWizz

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern
Danke für die Antwort, Huggy.

Ich hab gehofft, dass es ähnlich funktioniert wie beim Zusammenhang skalarer und vektorieller Oberflächenintegrale. Dort gilt ja
$\begin{eqnarray*} \hspace{1em}\mathrm{d}\vec{o} = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ ,
was ich im übrigen auch nie wirklich verstanden habe, sondern mir nur als gegeben auswendig gemerkt habe. Edit: Auch bei Kurvenintegralen habe ich so einen Zusammenhang schon mal beobachtet, dort gilt:
$\begin{eqnarray*} \hspace{1em}\int\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \int\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$

Bei der Integration des Vektorfeldes
$\begin{eqnarray*} \hspace{1em} F(\vec{x}) = \frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|^3} = \frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|}\cdot\frac{1}{\|\vec{x}\|^2} \end{eqnarray*}$
hatte ich die Hoffnung, dass es ähnlich funktioniert und es einfach eine Regel für das Integrieren von Vektorfeldern gibt, die ich noch nicht kenne.

So frei nach dem Motto:
$\begin{eqnarray*} \int\! F(\vec{x})\, \mathrm{d}\vec{x}= \int\! \frac{1}{\|\vec{x}\|^2}\,\mathrm{d}\|\vec{x}\| \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} \langle\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|},\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|}\rangle=1 \end{eqnarray*}$ .
Das wäre ja dann wie die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} {1}/{z^2} \end{eqnarray*}$ nur mit $\begin{eqnarray*} z=\|\vec{x}\| \end{eqnarray*}$ .

Aber du meinst das gibt es wirklich nicht? Wäre irgendwie schön das Integral auch "vektoriell" angehen zu können.

22.07.2022, 12:33

Huggy

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern
Mir sind zwei Methoden bekannt, das Potential (falls existent) eines Vektorfeldes zu bestimmen:

(1) Über ein Kurvenintegral

(2) Durch sukzessive unbestimmte Integration über die einzelnen Koordinaten

Die Herleitung des Verfassers scheint mir die verunglückte Darstellung eines Kurvenintegrals zu sein. Der linke Term der von mir monierten Gleichung kann als symbolische Darstellung eines Kurvenintegrals zu dem Punkt $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ angesehen werden. Auf der rechten Seite ist aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ offenbar eine eindimensionale Größe. Man kann nicht in einer Gleichung dasselbe Symbol in unterschiedlichen Bedeutungen verwenden. Das ist auch bei laschem Umgang mit Formalien eine Todsünde.

24.07.2022, 08:51

MasterWizz

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern
Ja genau das war die Idee. Schade, dass es nicht so funktioniert. Vielen Dank für deine Antwort und deine Idee es beispielhaft nach einer Variable zu machen und dann auf die Stammfunktion im gesamten zu schließen smile

24.07.2022, 10:06

Ulrich Ruhnau

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern
Mit $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ kann man sich klarmachen, daß wenn man den Gradienten von r berechnet

$\begin{eqnarray*} \nabla r=\vec e_r \end{eqnarray*}$ gelten muß. Vielleicht kannst Du Dir den Rest damit ableiten.

Außerdem gilt für Potentialfelder (skalare Funktionen) im Raum:

$\begin{eqnarray*} \phi (\vec r)=\int_{\vec {r_0}}^{\vec r} \! \Phi (\vec x)\dd \vec x \end{eqnarray*}$

24.07.2022, 11:11

Huggy

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern

Zitat:

Original von MasterWizz
... deine Idee es beispielhaft nach einer Variable zu machen und dann auf die Stammfunktion im gesamten zu schließen smile

Man kann auch gleich einen allgemeinen Punkt betrachten, den ich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nenne. Ein Nullpunktstrahl durch $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ kann als $\begin{eqnarray*} x(t)=t x_0 \end{eqnarray*}$ parametrisiert werden. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wird bei $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ erreicht und es ist $\begin{eqnarray*} \dot x(t)=x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann hat man

$\begin{eqnarray*} F(x(t) )\dot x(t)=\frac {(t x_0)\cdot x_0}{||t x_0||^3}=\frac 1 {t^2}\frac 1 {||x_0||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=\int\limits_\infty^1 F(x(t))\dot x(t) dt=\frac 1 {||x_0||} \int\limits_\infty^1\frac {dt}{t^2}=-\frac 1 {||x_0||} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man noch $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umbenennen.

25.07.2022, 18:55

MasterWizz

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern
Hey Huggy, das ist genau das, was ich gesucht habe, vielen Dank! Ich war nur erst verunsichert, ob die Integralgrenzen für t so angegeben werden dürfen, weil es eher unüblich aussieht und ich ja formal nicht schreiben kann $\begin{eqnarray*} t\in[\infty,1] \end{eqnarray*}$ . Aber es spricht nichts dagegen das Integral genau so aufzustellen, super!!

Allerdings interessiert mich jetzt auch der Ansatz von Ulrich Ruhnau. Kannst du die Idee noch ein bisschen ausführen? Ich tu mich außerdem etwas schwer zu erkennen, warum $\begin{eqnarray*} \nabla r = \vec{e}_r \end{eqnarray*}$ , aber es kann auch an mangelndem Verständnis für Vektoranalysis liegen.

26.07.2022, 09:47

Huggy

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RE: Stammfunktion von Vektorfeldern
Da Ulrich zu meiner Verwunderung nicht antwortet: Es ist generell eine gute und naheliegende Idee, ein solches radialsymmetrisches Feld in Kugelkoordinaten zu betrachten.

Zitat:

Original von MasterWizz
Ich tu mich außerdem etwas schwer zu erkennen, warum $\begin{eqnarray*} \nabla r = \vec{e}_r \end{eqnarray*}$ , aber es kann auch an mangelndem Verständnis für Vektoranalysis liegen.

In Kugelkoordinaten gilt:

$\begin{eqnarray*} \nabla = \vec e_r \frac {\partial}{\partial r}+ \vec e_\theta \frac 1 r \frac {\partial}{\partial \theta} + \vec e_\varphi \frac 1 {r \sin \theta} \frac {\partial}{\partial \varphi} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt für $\begin{eqnarray*} f(r, \theta, \varphi)=r \end{eqnarray*}$ trivial

$\begin{eqnarray*} \nabla r =\vec e_r \end{eqnarray*}$

Man kann natürlich $\begin{eqnarray*} \nabla r \end{eqnarray*}$ auch erst in kartesischen Koordinaten berechnen und das Ergebnis dann in Kugelkoordinaten umrechnen.

Zitat:

Allerdings interessiert mich jetzt auch der Ansatz von Ulrich Ruhnau. Kannst du die Idee noch ein bisschen ausführen?

Wenn man analog

$\begin{eqnarray*} \nabla \left ( - \frac 1 r \right ) \end{eqnarray*}$

berechnet, ergibt sich das gegebene Vektorfeld. Damit ist $\begin{eqnarray*} - \frac 1 r \end{eqnarray*}$ ein Potential des Vektorfeldes. Ich vermute ohne Gewähr, dass das der Gedanke von Ulrich war.

29.07.2022, 07:52

MasterWizz

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Hey Huggy, danke dir!! Tut mir Leid für die späte Antwort, ich kam wirklich erst jetzt dazu deine Antwort zu durchdenken..

Ich verstehe jetzt, warum $\begin{eqnarray*} \nabla r = \vec{e}_r \end{eqnarray*}$ sein muss. Offensichtlich, wenn wir Kugelkoordinaten verwenden, aber auch wenn wir den Gradienten in kartesischen Koordinaten von
$\begin{eqnarray*} \qquad r=|\vec{r}|=\left|\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$
bilden. Dann ergibt sich ebenfalls
$\begin{eqnarray*} \qquad \nabla r = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=\vec{e}_r. \end{eqnarray*}$

Schlauer ist es allerdings, wie du schon geschrieben hast, in Kugelkoordinaten vorzugehen, weil die Funktion allein vom Radius abhängt. Ich muss also nur eine Funktion finden, deren Gradient unser Vektorfeld ist. Umgedreht bedeutet das dann doch aber auch, dass ich ganz einfach auf eine Potentialfunktion des konservativen Feldes
$\begin{eqnarray*} \qquad F(\vec{x})=g(r)\cdot \vec{e}_r \overset{!}{=} \nabla f(\vec{x}) \end{eqnarray*}$
komme, indem ich die Funktion $\begin{eqnarray*} g(r) \end{eqnarray*}$ integriere, oder?

Dann würde sich für jedes konservative Feld $\begin{eqnarray*} F(\vec{x})=g(r)\cdot \vec{e}_r \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion (das skalare Potential) ergeben aus
$\begin{eqnarray*} \qquad f(\vec{x})=\int\!g(r)\,\mathrm{d}r. \end{eqnarray*}$

Ist es vielleicht auch das, was Ulrich meinte? Dann würde auch die von mir als $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bezeichnete Funktion seiner Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ entsprechen.

29.07.2022, 10:37

Huggy

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Zitat:

Original von MasterWizz
Umgedreht bedeutet das dann doch aber auch, dass ich ganz einfach auf eine Potentialfunktion des konservativen Feldes
$\begin{eqnarray*} \qquad F(\vec{x})=g(r)\cdot \vec{e}_r \overset{!}{=} \nabla f(\vec{x}) \end{eqnarray*}$
komme, indem ich die Funktion $\begin{eqnarray*} g(r) \end{eqnarray*}$ integriere, oder?

Ja.

Zitat:

Dann würde sich für jedes konservative Feld $\begin{eqnarray*} F(\vec{x})=g(r)\cdot \vec{e}_r \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion (das skalare Potential) ergeben aus
$\begin{eqnarray*} \qquad f(\vec{x})=\int\!g(r)\,\mathrm{d}r. \end{eqnarray*}$

Ist es vielleicht auch das, was Ulrich meinte? Dann würde auch die von mir als $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bezeichnete Funktion seiner Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ entsprechen.

Was Ulrich meint, sollte er selbst sagen. Direkt passt das noch nicht zusammen, weil Ulrich ja rechts ein Kurvenintegral stehen hat, wie man an den Vektorpfeilen sieht. Da müsste man also noch einen Schritt einschieben.

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