Lineare DGL 1. Ordnung

21.07.2022, 11:35

maths4u

Lineare DGL 1. Ordnung

Hallo!

Es handelt sich diesmal um lineare Differentialgleichungen 1.Ordnung.
Ich komme bei einer Aufgabe (Aufgabe a ) nicht weiter. Was soll ich hier als Grenzen einsetzen? Wir haben in der VO ein Beispiel gerechnet, wo wir die Grenzen direkt bestimmen konnten, aber bei dieser Aufgabe kann ich die Grenzen ja nicht direkt ablesen, da wir y(x)= … nicht gegeben haben,

Ich lade das Beispiel (k), welches wir in der VO behandelt haben, hoch, damit ihr meine Rechenschritte besser nachvollziehen könnt.
Als grenzen habe ich bei a) dann einfach x und 0 gewählt. Ich weiß nicht mal, ob das so stimmt. Könnt ihr mal einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben? Vielen Dank!

21.07.2022, 12:20

klarsoweit

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung
Da ist ja einiges schief gegangen. Ausgehend von $\begin{eqnarray*} \frac{3y'(x)}{y(x)} = -a \end{eqnarray*}$ würde ich so integrieren:

$\begin{eqnarray*} 3 \int_0^x \frac{y'(t)}{y(t)}~dt = \int_0^x (-a)~dt \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt links substituierst, mußt du auch entsprechend die Grenzen anpassen:

$\begin{eqnarray*} 3 \int_{y(0)}^{y(x)} \frac 1 z~dz = \int_0^x (-a)~dt \end{eqnarray*}$

Spätestens, wenn du zu ln(|0|) kommst, müßtest du doch merken, daß da was falsch läuft. smile

22.07.2022, 05:05

maths4u

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Danke für deine Antwort klarsoweit!
ln(0) ist ja undefiniert, also ich kann ja dann nicht weiterrechnen.
Wie soll ich da nun genau vorgehen?

22.07.2022, 14:31

loeser

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Zitat:

ln(0) ist ja undefiniert, also ich kann ja dann nicht weiterrechnen.

Das passiert ja jetzt nicht mehr, wie du an der Integralgleichung von klarsoweit siehst :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3 \int_{y(0)}^{y(x)} \frac 1 z~dz = \int_0^x (-a)~dt \end{eqnarray*}$

Du hattest die untere Grenze durch z=y(t) nicht zu y(0) substiuiert sondern bei 0 belassen.

Ohne eine gegebene Anfangswertbedingung bleibt das eben bei y(0).

Beim rechten Integral war dein Fehler, dass du offenbar das a durch t ersetzt hast.
Stünde da -x, dann kannst du das machen, aber - a ist ja eine Konstante, also von x unabhängig.

23.07.2022, 11:06

maths4u

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Danke für deine Rückmeldung loeser!
Könntest du mir mal sagen, ob der Anfang nun passt bevor ich weiterrechne?

23.07.2022, 11:29

loeser

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Beachte, dass $\begin{eqnarray*} e^{k \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} (e^{ln(x)})^k \end{eqnarray*}$ nicht dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} k \cdot x \end{eqnarray*}$ sondern zu $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ wird.

23.07.2022, 11:45

maths4u

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Also so?

23.07.2022, 12:14

loeser

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Ja, so passt es Freude

Du hättest die Gleichung auch vorher (statt "e hoch") durch 3 teilen können, dann wäre das mit der Wurzel gar nicht nötig gewesen.

Du hattest ja ein vorgerechnetes Beispiel aus der Vorlesung in deinem ersten Beitrag gepostet.
Es geht aber hier in deinem Beispiel um das Lösen einer DGL ohne Anfangswertbedigungen der Form $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ .
Wurden in der Vorlesung nicht auch dazu mal Beispiele vorgerechnet ?

Es ist zwar nicht falsch, aber schon äußerst ungewöhnlich trotz fehlender Anfangswertbedingungen mit sowas wie y(0) zu hantieren.

Ich will dich damit auch nicht nerven, aber wenn du mal den eigentlich absurd hohen Aufwand mit dem hier vergleichst, wobei lediglich $\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ genutzt wird :

$\begin{eqnarray*} 3y'=-ay \ ~ \Rightarrow \int \frac{3}{y}dy=\int-a \ ~ dx \ ~ \Rightarrow 3 \cdot ln(|y|)=-ax+c \ ~ \Rightarrow ln(|y|)=\frac{1}{3} \cdot(-ax+c) \ ~ \Rightarrow y=e^{\frac{1}{3} \cdot(-ax+c)} \end{eqnarray*}$

Deine Konstante y(0) entspricht meine Konstanten $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{3}c} \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes c aus den reellen Zahlen.

23.07.2022, 15:13

maths4u

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Erstmal vielen Dank Loeser!
Leider nein, in der VO wurde zu DGL ohne Anfangsbedingungen keine Beispiele gerechnet, nur mit Anfangswerten haben wir ein Beispiel gerechnet und dieses habe ich hier um Forum hochgeladen.

Ich hab' jetzt auch deinen Version übernommen, da sie viel feiner ist zum Rechnen. Ich werde aber trotzdem versuchen mit beiden Versionen zu rechnen (sicherheitshalber).
Ich hab auch die Rechnung vervollständigt, als Endergebnis kommt folgendes raus:
Passt das so?

23.07.2022, 20:23

loeser

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Du brauchst dir um eine spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ nur dann Gedanken machen, wenn eine so genannte, inhomogene DGL vorliegt.
In diesem Beispiel handelt es sich um eine homogene DGL 1. Ordnung, da es keinen Störterm s(x) ohne y oder y' gibt.
Inhomogen wäre es z.B. bei sowas wie 3y'+ay=2 oder 3y'+ay=6x gewesen.

23.07.2022, 21:49

maths4u

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Alles klar, aber die Rechnung an sich sollte ja passen, oder? Also das Endergebnis bleibt ja gleich wie ich weiß oder habe ich einen Denkfehler?

23.07.2022, 22:07

loeser

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Eigentlich möchte ich das gar nicht weiter vertiefen.
Wann man eine spezielle Lösung braucht, das hatte ich bereits geschrieben.
Nur so viel: Das c hat da nichts zu suchen und eine Funktion C(x), die abgeleitet Null werden soll, muss nicht zwingend Null sein, sondern kann beliebig konstant sein, also auch z.B. C(x)=7.

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