Ring kann kommutativ werden, automatisch a x a = neutrales Element?

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Omikfuenf Auf diesen Beitrag antworten »
Ring kann kommutativ werden, automatisch a x a = neutrales Element?
Eine Menge von Zahlen zusammen mit einer Operation kann mittels Hinzufügen von Eigenschaften (bzw. math. Gesetzen) zu höheren Gebilden gesteigert* werden: >>> Halbgruppe >>> Monoid >>> Gruppe >>> kommutative (abelsche) Gruppe.
Bei Steigerung zu kommutativer Gruppe ist nicht-kommutative Gruppe der Startpunkt der Steigerung. Alle restlichen Axiome der Gruppe sind jedoch in Gruppe gegeben bevor diese Steigerung vorgenommen wird:
-) Eingeschlossenheit bei Abbildungen mittels Operation
-) Assoziativgesetz
-) Existenz des neutralen Elements und sein Funktionieren
-) Existenz der Inverse zu einem Element und ihre Funktion
Die letzte Eigenschaft in Auflistung wird erreicht mit Steigerung Monoid zu Gruppe
So die Quelle(-en) zur Zahlentheorie, die ich bisher genutzt habe.

*) steigern/Steigerung, den Begriff habe ich willkürlich gewählt und hier eingesetzt, da mir nichts einfällt was in meinem Ermessen in diesem Kontext besser passen würde. Ich kann jedoch nicht garantieren, dass der Begriff hier zweckgemäß funktioniert. Vorsicht, ich bin kein Mathematiker.

Ähnlicherweise kann aus einem Ring ein kommutativer Ring werden, wenn man nur das Kommutativgesetz zum ersteren hinzunimmt. Nicht-kommutativer Ring ist allerdings durch Mangel an Existenz von Inverse zum Element gekennzeichnet - den Wissensquellen unter meiner Nutzung nach.
FRAGE: Bringt Kommutativität eines Rings die Existenz von Inversen in den Ring automatisch hinzu - analog dazu wie das Bilden einer kommutativen Gruppe aus einer nicht-kommutativen Gruppe das Vorhandensein von Inversen-Elementen in der letzten voraussetzt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Von Steigerung kann meines Erachtens nicht wirklich die Rede sein, obwohl es Beispiele gibt, in denen Strukturen eine Art Hierarchie bilden. Im allgemeinen ist das aber nicht so, sondern Strukturen können völlig unabhängig voneinander sein.

n-reihige quadratische Matrizen über einem Körper bilden einen nichtkommutativen Ring, der zugleich ein Vektorraum über dem Körper ist, eine solch reiche Struktur nennt man eine Algebra. Weil es in dieser Struktur Elemente A und B gibt, deren Produkte AB und BA voneinander verschieden sind, kann man daraus keinen kommutativen Ring machen.

Der kommutative Ring der ganzen Zahlen enthält keine multiplikativen inversen Elemente, er kann aber zum Körper der ganzrationalen Zahlen erweitert werden, in dem man (außer durch 0) unbeschränkt dividieren kann.

Alle möglichen Strukturen, von den einfachsten bis zu den kompliziertesten, haben jeweils eine eigene Theorie mit Definitionen und Sätzen, und viele Anwendungen, die für die jeweilige Struktur möglich und interessant sind.

Zitat:
Original von Omikfuenf
... analog dazu wie das Bilden einer kommutativen Gruppe aus einer nicht-kommutativen Gruppe das Vorhandensein von Inversen-Elementen in der letzten voraussetzt?


Das ist falsch. In jeder Gruppe gibt es zu jedem Element genau ein inverses Element, egal ob die Gruppe kommutativ ist oder nicht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ring kann kommutativ werden, automatisch a x a = neutrales Element?
Die Diagonalmatrizen sind ein kommutativer Unterring des vollen Matrizenringes, aber nicht alle Diagonalmatrizen sind invertierbar.
Edit Bin weg. Wink Viiiiel zu lange nicht aktualisiert geschockt
Omikfuenf Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Antwort in kurzer Zeit.
Ich bewege mich im Bereich der ganzen und natürlichen Zahlen und kann Beschreibungen in Vektorräumen leider noch schlecht verarbeiten. Entschuldigung.

Zitat:
Original von Elvis
Zitat:
Original von Omikfuenf
... analog dazu wie das Bilden einer kommutativen Gruppe aus einer nicht-kommutativen Gruppe das Vorhandensein von Inversen-Elementen in der letzten voraussetzt?


Das ist falsch. In jeder Gruppe gibt es zu jedem Element genau ein inverses Element, egal ob die Gruppe kommutativ ist oder nicht.


Stimmt mit meiner Verständnis überein. Gemeint war: nur Gruppe kann zur kommutativen Gruppe werden. Nie Monoid noch Halbgruppe, bedingt durch Mangel am inversen Element eben.
Bei Betrachtung der Sache verwende ich das Bilden höherer Strukturen nur aus einfacher Strukturen - da selber zu faul in Gedanken mit Bilden einer Gruppe from-scratch zu spielen (e.h. unter Nichtnutzung von Halbgruppen und Monoids). Vielleicht liegt hier mein Fehler.

Eigentlich scheint die Frage auf Ebenen drüber zu liegen:
-) Warum wird der Definition vom Ring (in aller deren Abstufungen, mit/ohne Eins, kommutativ oder nicht) das Hineinnehmen der Existenz des inverses Elementes für Verknüpfung Multiplikation verwehrt?
-) Warum bedarf es Aufstellung der Definition einer weiteren Struktur, um diese Komponente/Eigenschaft hinein zu bekommen - Körper? Warum lässt sich multiplikativer Inverse-Element nicht mit restlichen Eigenschaften in Definition der Gruppe vereinbaren? Liegt es daran, was in der Natur (in Mathematik) allgemein bekannt ist und dass die Sprache Mathematik lediglich will es formalisieren, abstrahieren?
-) Warum braucht Definition von Gruppe so viele Abstufungen: Menge mit Operation, Halbgruppe, Monoid, Gruppe, abelsche Gruppe. Liegt es wiederum daran, was in der Natur schon zu finden ist?
Omikfuenf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Omikfuenf
dass die Sprache Mathematik lediglich will es formalisieren, abstrahieren?

Gemeint ist, dass die Mathematik will es in eigener Sprache auszudrücken, formalisieren, abstrahieren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede mathematische Struktur ist beliebig oft in der Naturwissenschaft zu finden. Wenn wir die mathematischen Strukturen verstehen, dann ist das mathematisch interessant und bringt uns mehr und mehr Erkenntnisse. Weil jede Struktur z. B. in der Physik viele konkrete Beispiele hat, lernen wir so, die Welt zu verstehen, in der wir leben. Für meine Behauptung spricht jedes Physikbuch.
Wir abstrahieren nicht von der Natur, wir erkennen und erklären sie mit Mathematik, und Mathematik ist die Wissenschaft der Strukturen.
 
 
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