Integration durch Substitution

22.07.2022, 19:23

Samsara

Integration durch Substitution

Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{s} \! x{cos({x}^{2}+1)} \, dx \end{eqnarray*}$ , die Substitution mit t = $\begin{eqnarray*} \ x^{2}+1\ \end{eqnarray*}$ ist klar, auch t = 2x und damit,

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \!x cos(x^{2}+1) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{s} \! x{cos({x}^{2}+1)} \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{5} \!cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left[sin({t)}\right]_{1}^{5} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ({sin}({5})-\sin{(1))} \end{eqnarray*}$

Die x jeweils vor dem cos ist mir nicht klar. Die Grenzen von 1 - 5 bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{5} \cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$ sind mir klar, aber das jetzt das x beim cos fehlt ist unklar, wie auch die letzten Schritte. Wenn ich das richtig sehe, findet hier keine Rücksubstitution steht?

Dann ist da noch eine Aufgabe : $\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} } \, dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \int \ \frac{1}{\sqrt{1-sin^{2}({u})} } \, cos{(u)}du \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int \ \frac{cos(u)}{cos(u)} \, du \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int \ 1du = {u} = {arcsin(x)}\ \end{eqnarray*}$ . Ich weiß zwar das hier $\begin{eqnarray*} \arcsin({x}) \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion ist und
kenne auch den trigonometrichen Pythagoras. Trozdem habe ich hier Probleme mit der Substitution.

22.07.2022, 19:35

Mathema

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Samsara
auch t = 2x

Nicht $\begin{eqnarray*} t=2x \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} t'=\frac{\dd t}{\dd x}=2x \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \dd x=\frac{\dd t}{2x} \end{eqnarray*}$ . Ist damit alles klar?

22.07.2022, 20:12

Samsara

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RE: Integration durch Substitution
leider komme ich damit noch nicht weiter.

22.07.2022, 20:34

Mathema

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Du musst doch nur einsetzen - das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kürzt sich denn raus (und braucht somit nicht mehr durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{t-1} \end{eqnarray*}$ ersetzt werden). $\begin{eqnarray*} x\cos\left(x^2+1\right)\, \dd x \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} x\cos\left(t\right)\, \frac{\dd t}{2x}=\frac{1}{2}\cos(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$ . Verwunderlich, dass du nicht weißt, was mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ passiert ist, dir den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aber anscheinend erklären kannst. verwirrt

22.07.2022, 21:56

Samsara

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Da hast du recht, dass das verwunderlich ist. Ich hatte das fälschlicherweise für die Ableitung der Substitution gehalten, was natürlich nicht stimmt. Somit ist leider klar, dass ich die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht nachvollziehen kann.

31.07.2022, 12:10

andyrue

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RE: Integration durch Substitution
kann es sein dass sich beim ersten integral einige tippfehler eingeschlichen haben?

die obere integrationsgrenze ist 's', später 2

und: vor dem substituieren müsste im integral vor dem x eigentlich noch der faktor 2 stehen (auch wenn das dann wegfällt).

die zweite aufgabe ist übrigens anspruchsvoller, ein tipp dazu im anhang

andyrue

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