Mehrstufiges Horner-Schema

23.07.2022, 09:33

MMchen60

Mehrstufiges Horner-Schema

Liebe Forumsgemeinde,
nirgendwo im Netz habe ich eine Antwort auf folgende Frage gefunden:
Ausgehend von einer Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^7-x^6+2x^5+71x^4+68x^3-52x^2 \end{eqnarray*}$ habe ich mittels Horner-Schema eine Nullstelle bei x=-2 identifiziert, siehe angehängte Abbildung.
Meine Frage nun: Kann ich daraus die um 1 reduzierte Potenz von f(x) ablesen, also $\begin{eqnarray*} f^*(x)=bx^6..... \end{eqnarray*}$ oder benötige ich hierzu nach wie vor eine Polynomdivision?
Falls ja, dann kann ich ja gleich die Polynomdivision machen und auf Horner-Schema verzichten, denn die -2 musste ich ja genauso durch ausprobieren herausfinden.

23.07.2022, 10:20

horner

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Man kann ja leicht selbst verifizieren, dass $\begin{eqnarray*} (2x^6-5x^5+12x^4+47x^3+26x^2) : (x+2)=2x^7-x^6+2x^5+71x^4+68x^3-52x^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Dieses Rechenschema ist besonders für Schüler oft eine gern genommene Alternative zur Polynomdivisionen, da es nur mit Zahlen (Koeffizienten) arbeitet und man damit die meist als lästig empfundenen "x-Terme" von der Backe hat.

23.07.2022, 10:22

horner

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Korrektur:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (2x^6-5x^5+12x^4+47x^3-26x^2) \cdot (x+2)=2x^7-x^6+2x^5+71x^4+68x^3-52x^2 \end{eqnarray*}$

23.07.2022, 15:02

klauss

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RE: Mehrstufiges Horner-Schema
Was mir dazu einfällt:

Deine Beispielfunktion ist etwas überdimensioniert gewählt. Da das Absolutglied fehlt, beschränkt sich die Nullstellensuche effektiv auf eine Funktion 5. Grades.

Die Formulierung

Zitat:

Original von MMchen60
... habe ich mittels Horner-Schema eine Nullstelle bei x=-2 identifiziert ...

ist etwas mißverständlich. Du meinst damit ja nicht, mit dieser Methode die Nullstelle gefunden zu haben, sondern vielmehr bestätigt zu haben, dass der (anderweitig) gefundene Wert eine Nullstelle ist.
Ja, dann sind die Zahlen in der unteren Zeile links von der letzten Null die Koeffizienten des um 1 Grad reduzierten Restpolynoms.

Was Du alternativ machen könntest:
Hoffen, dass eine Funktion höheren Grades mehrere rationale Nullstellen hat. Die kannst Du bekanntlich immer gezielt finden. Wenn Du damit die Funktion durch das (ausmultiplizierte) Produkt mehrerer Linearfaktoren teilst, reduzierst Du den Grad mit einer Polynomdivision um mehrere Stufen.

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