de l'Hospital ohne Lösung?

24.07.2022, 14:04

MMchen60

de l'Hospital ohne Lösung?

Liebe Forumsgemeinde, ich soll mit Hilfe von de l'Hospital bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln(x) \cdot ln(x-1) \end{eqnarray*}$
OK, wir benötigen ja einen Quotienten, also
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {ln(x-1)}{ln(x)^{-1}} \end{eqnarray*}$
Ich habe jetzt die Ableitungen gebildet, siehe Anhang. Mit den ersten Ableitungen komme ich da nicht weiter, also das Ganze noch ml mit den zweiten Ableitungen. Aber, auch das führt nicht zu einem Ergebnis.
Mache ich da etwas falsch, oder existiert dieser Grenzwert nicht?
Vielen Dank für Antwort.

24.07.2022, 14:10

IfindU

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RE: de l'Hospital ohne Lösung?
Bist du sicher, dass $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$ ? Im ersten Fall ist es im reellen nicht definiert, da $\begin{eqnarray*} \ln (y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Bei $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ wärst du ja im zweiten Schritt fertig.

24.07.2022, 14:51

HAL 9000

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Es ist nicht unbedingt anratsam, mit dem Kopf durch die L'Hospital-Wand zu rennen. Besser ist es, mit Augenmaß die Terme zu vereinfachen, bevor man zu L'Hospital greift: Z.B. die Logarithmenterme so zu isolieren, dass sie bein EINMALIGER L'Hospital-Anwendung sofort verschwinden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \ln(x)\cdot \ln(1-x) \stackrel{!}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} \stackrel{2\times LH}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{1-x}}{1} = \lim_{x\to 0} (-x)\cdot (-1) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Zerlegung $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ als Produkt zweier Grenzwerte ist natürlich nur dann statthaft, wenn diese beiden Grenzwerte auch existieren - was sich im weiteren Verlauf dann als richtig herausstellt. Augenzwinkern

24.07.2022, 14:52

MMchen60

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RE: de l'Hospital ohne Lösung?

Zitat:

Original von IfindU
Bist du sicher, dass $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$ ? Im ersten Fall ist es im reellen nicht definiert, da

Habe gerade noch mal nachgeschaut, ja es steht -> +0 Das heißt von >0 gegen 0.
Wenn ich mir das logisch überlege, dann muss es 0 sein. Denn ln(x) x->0+ läuft gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , aber ln(1-x) für x->0+ läuft gegen 0. Und ln(x) * ln(1-x) somit gegen Null. Aber, warum kommt das mit l'Hospital nicht raus?

24.07.2022, 14:55

HAL 9000

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Die Anmerkung von IfindU ist berechtigt, da du im Eröffnungsbeitrag wohl falscherweise $\begin{eqnarray*} \ln(x-1) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \ln(1-x) \end{eqnarray*}$ geschrieben hattest...

Zitat:

Original von MMchen60
Denn ln(x) x->0+ läuft gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , aber ln(1-x) für x->0+ läuft gegen 0. Und ln(x) * ln(1-x) somit gegen Null.

Die Logik hinter diesem somit erschließt sich mir nicht. unglücklich

Es ist z.B. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x}\right) = -\infty \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x = 0 \end{eqnarray*}$ , aber damit keineswegs $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x}\cdot x\right) \stackrel{???}{=} 0 \end{eqnarray*}$ .

24.07.2022, 17:03

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Anmerkung von IfindU ist berechtigt, da du im Eröffnungsbeitrag wohl falscherweise $\begin{eqnarray*} \ln(x-1) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \ln(1-x) \end{eqnarray*}$ geschrieben hattest...

Oohhg, sory, sehe ich auich erst gerade. Danke für den Hinweis,

Zitat:

Original von MMchen60
Denn ln(x) x->0+ läuft gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , aber ln(1-x) für x->0+ läuft gegen 0. Und ln(x) * ln(1-x) somit gegen Null.

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Logik hinter diesem somit erschließt sich mir nicht. unglücklich

Ich dachte immer man dürfe $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x}\cdot x\right) =\lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x} \right) \cdot \lim_{x\to 0} \left(x \right ) \end{eqnarray*}$ schreiben?

24.07.2022, 21:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Ich dachte immer man dürfe $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x}\cdot x\right) =\lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x} \right) \cdot \lim_{x\to 0} \left(x \right ) \end{eqnarray*}$ schreiben?

Nein!!! Eine derartige Zerlegung ist nur statthaft, wenn beide (!) Grenzwerte rechts auch existieren, was hier bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ja nicht der Fall ist. unglücklich

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