4, Wurzel einer komplexen Zahl

24.07.2022, 15:10

MMchen60

4, Wurzel einer komplexen Zahl

Hallo liebe Forumsgemeinde,
habe ich die angehängte Aufgabe korrekt gelöst oder da einen Denkfehler drin?
Vielen Dank für Antwort.

24.07.2022, 15:14

HAL 9000

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Es geht wohl eher um $\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[4]{4}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{12} + k\cdot \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12} + k\cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ .

24.07.2022, 16:42

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es geht wohl eher um $\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[4]{4}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{12} + k\cdot \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12} + k\cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ .

OK, also 4. Wurzel ziehen, bevor man die trigonometrische Darstellung vornimmt.
Jetzt frage ich mich nur, wieso bei sin und cos $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}{12} +k \cdot \frac {\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} cos( \frac {\pi}{12}) \neq cos( \frac {\pi}{12}+\frac {\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ , genauso wie für sin.

24.07.2022, 21:56

HAL 9000

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Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z = r\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r}\cdot e^{i\frac{\varphi + k\cdot 2\pi}{n}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ .

Nichts anderes habe ich für $\begin{eqnarray*} r=4,\varphi=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ getan.

25.07.2022, 07:01

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nichts anderes habe ich für $\begin{eqnarray*} r=4,\varphi=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ getan.

OK, danke, wieder was dazugelernt.

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