Charakteristisches Polynom

24.07.2022, 20:04

Samsara

Charakteristisches Polynom

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & -42 & -4 \\ -5 & -15 & -5 \\ 23 & 42 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3-\lambda & -42 & -4 \\ -5 & -15-\lambda & -5 \\ 23 & 42 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3-\lambda & -42 & \\ -5 & -15-\lambda \\ 23 & 42&\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-3-\lambda)(-15-\lambda)(24-\lambda)+(-42)(-5)(23)+(-4)(-5)(42)-(23)(-15-\lambda)(-4)-(42)(-5)(-3-\lambda)-(24-\lambda)(-5)(-42) \end{eqnarray*}$

Das soll jetzt eigentlich der Beginn der Regel nach Sarrus sein. Da ich lediglich einen Skript mit dem charakteristischen Polynom habe, jedoch nie eine Vorlesung gehört habe, wo es vorkam, tue ich mich hier etwas schwer. Mir ist jetzt nicht klar, wie ich das am besten jetzt vereinfache. Das sind dann vielleicht auch Kentnisse, an die ich mich nicht mehr erinnere

24.07.2022, 21:32

polyeder

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Willst du nur das charakteristische Polynom oder sogar die Eigenwerte und - räume bestimmen ?

Eine Arbeitserleichterung könnte wie folgt sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3-\lambda & -42 & -4 \\ -5 & -15-\lambda & -5 \\ 23 & 42 & 24- \lambda \end{pmatrix} \ ~ \rightarrow \begin{pmatrix} -3-\lambda & -42 & -4 \\ -5 & -15-\lambda & -5 \\ 20 -\lambda & 0 & 20- \lambda \end{pmatrix} \ ~ \rightarrow \begin{pmatrix} -3-\lambda & -42 & 1- \lambda \\ -5 & -15-\lambda & 0 \\ 20 - \lambda & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Hauptdiagonalen sind sowohl die Eigenwerte als auch das charakteristische Polynom ablesbar.

Ansonsten musst du halt bei deinem Weg tapfer sein und bei deiner Sarrus-Determinante die Klammern auflösen und zusammenfassen.
Wie du vielleicht gesehen hast, ist dir ein Abschreibfehler unterlaufen (rechts unten in der zweiten Matrix) und die Klammern sind keine Notation für Determinanten, sondern senkrechte Striche wie hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

24.07.2022, 21:39

Elvis

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Grundrechenarten ergeben ein Polynom 3. Grades in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der linearen Abbildung, zu der bei gegebener Vektorraumbasis die Matrix als Darstellungsmatrix gehört. Das heißt es gibt Eigenvektoren, für die gilt $\begin{eqnarray*} \varphi (x) =A\cdot x= \lambda\cdot x \end{eqnarray*}$ . Außerdem annulliert das charakteristische Polynom die Matrix, d.h. $\begin{eqnarray*} \chi(A) =0 \end{eqnarray*}$ .

24.07.2022, 21:51

Samsara

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Danke für den Hinweis für die Notation. Jetzt habe ich doch noch eine Frage: Ich kann die Null für die
42 und die $\begin{eqnarray*} 20-\lambda \end{eqnarray*}$ in der zweiten Matrix von dir nicht nachvollziehen und in der 3 Matrix geht mir das genauso mit der Null statt der -5 sowie der Null statt der 42 und eben auch das $\begin{eqnarray*} 20-\lambda \end{eqnarray*}$ statt dem $\begin{eqnarray*} 24-\lambda \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, ich habe das so richtig gesehen.

24.07.2022, 22:06

Helferlein

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1.+3.Zeile, danach 1.+3.Spalte.

26.07.2022, 19:16

Samsara

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Danke noch mal für den Hinweis. Müsste in der 3. Matrix in der 1.Zeile,3. Spalte nicht $\begin{eqnarray*} -7-lambda \end{eqnarray*}$

26.07.2022, 19:24

Helferlein

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Sorry, Schreibfehler:

Zitat:

Original von Helferlein
1.+3.Zeile, danach 1.-3.Spalte.

27.07.2022, 19:42

Samsara

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Trotzdem noch eine Frage, muss man da womöglich etwas vorsichtig oder je nach dem etwas sparsam damit umgehen wegen der noch unbestimmeten $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

28.07.2022, 11:52

polyeder

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Was genau meinst du damit ?

28.07.2022, 14:08

Samsara

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Ich hab den Prof. der die Vorlesung Lineare Algebra an der Fernuni betreut, gefragt, ob ich beim Berechenen des charakteristischen Polynoms an der Matrix durch Umformungen etwas verändern darf um das Rechnen etwas einfacher zu machen. Seine Antwort war wie folgt, Natürlich könne man die Matrix durch Zeilen und Spalten mittels Addition und Subtraktion verändern, die Determinante würde sich ja dadurch nicht verändern. Man solle aber damit sparsam umgehen, denn die Matrix enthalte ja noch die Einträge der Unbestimmten $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Ich habe dann noch mal nachgefragt, was er denn damit genau meint. Ich warte aber immer noch auf eine Antwort. Meine Idee ist, dass man dadurch möglicherweise die Nullstellen und damit die Eigenwerte verändern kann.

28.07.2022, 16:48

Helferlein

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Ich denke es geht ihm darum, dass man aufpassen muss nur das zusammenzurechnen, was zusammenrechenbar ist, wie es aber auch bei jedem beliebigen anderen Term ist. In der Matrix übersieht man schnell mal ein Lambda und fasst dadurch falsch zusammen.
Außerdem musst Du Dir natürlich überlegen ob die Umformung, die zur Vereinfachung führt, möglicherweise die Determinante verändert.

Kurz gesagt: Rechnen nach Schema-F ist einfach, möglicherweise aber von den Werten her unangenehm, Rechnen nach Umformung verleitet zu Flüchtigkeitsfehlern. Du musst entscheiden, was Dir mehr liegt.

28.07.2022, 19:12

Samsara

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Ich bin jetzt allerdings etwas irritiert. ich habe jetzt die Matrix genommen, die mir ein Mitglied hier zwecks Arbeitserleichterun verändert hat, und zwar wie folgt:
A= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -3-\lambda & -42 & 1-\lambda \\ -5 & -15-\lambda& 0\\ 20-\lambda & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ---> $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -3-\lambda & -42 & 1-\lambda & -3-\lambda & -42\\ -5 & -15-\lambda& 0 & -5 & -15-\lambda\\ 20-\lambda & 0 & 0 & 20-\lambda & 0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

nach der Regel von Sarru ergibt das (20- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )(-15- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )(1- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )=(20- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )(-15- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )(1- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )=200-305 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ +6 $\begin{eqnarray*} \lambda^{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \lambda^{3} \end{eqnarray*}$
mit derselben Matrix hat der Prof. das wie folgt gemacht:
$\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ =det( $\begin{eqnarray*} \lambda{I} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ )=det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda + 3 & 42 & 4 \\ 5 & \lambda + 15 & 5 \\ -23 & -42 & \lambda-24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ =det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda + 3 & 42 & 4 \\ 5 & \lambda + 15 & 5 \\ \lambda-20 & 0 & \lambda-20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda - 1 & 42 & 4 \\ 0 & \lambda + 15 & 5 \\ \ 0 & 0 & \lambda-20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Da dies eine Dreiecksmatrix ist erhält man
$\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ =det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda - 1 & 42 & 4 \\ 0 & \lambda + 15 & 5 \\ \ 0 & 0 & \lambda-20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -1)( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ +15)( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -20)
es wurden folgende Verändeungen vorgenommen, die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und die erste Spalte wurde von der 3 Spalte abgezogen.

Es sind jetzt mit unterschiedlichen Umformungen unterschiedliche Ergebnisse herausgekommen. Ich habe allerdings keine Übung darin mein Ergebniss in Faktoren zu zerlegen, aber wenn ich das von dem Prof. ausmultiplizere sind sie ähnlich aber nicht gleich. Also was ist bei mir falsch?.

28.07.2022, 19:31

Elvis

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Die Nullstellen $\begin{eqnarray*} \lambda=-15,1,20 \end{eqnarray*}$ sind die Eigenwerte von A, das char.Pol. sollte normiert sein, also ist $\begin{eqnarray*} \chi(A)=(\lambda-1)(\lambda+15)(\lambda-20)=\lambda^3+... \end{eqnarray*}$
Wenn sich ein Vorzeichen verändert hat, dann ist das nicht ganz in Ordnung, aber auch keine katastrophe. Manche Definition sagt $\begin{eqnarray*} det(\lambda I-A) \end{eqnarray*}$ , die andere sagt $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I) \end{eqnarray*}$ . Ist irgendwie Jacke wie Hose solange man weiß, was man will.

28.07.2022, 21:58

Helferlein

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Mich irritiert vielmehr diese Aussage:

Zitat:

Original von Samsara
... nach der Regel von Sarru ergibt das (20- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )(-15- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )(1- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )=...
Ich habe allerdings keine Übung darin mein Ergebniss in Faktoren zu zerlegen...

Du fängst mit einer faktorisierten Form an, multipliziert sie aus und vergleichst sie mit der Faktorisierung deines Profs, komplizierter geht es kaum.

28.07.2022, 22:10

Samsara

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Danke für den Hinweis. Ich hab wohl im wahrsten Sinn den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen.

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