Basis eines K-Unterraums bestimmen

24.07.2022, 21:32	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines K-Unterraums bestimmen Meine Frage: Schönen guten Abend zusammen! Anbei habe ich eine Frage, ob ich dass Thema und die Aufgabe richtig verstanden habe. Es handelt sich um folgende Frage: Es sei V der R-Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad 2. Die Teilmenge $\begin{eqnarray} U:=\left\{p element V\| p(x) = p(1-x) \right\} \end{eqnarray}$ ist ein linearer Unterraum. Die Axiome des Untervektorsraums sind mir klar, dass funktioniert auch super und wird hier ja vorausgesetzt (unter K-Linearkombination abgeschlossen) Meine Ideen: Mein Ansatz sieht wie folgt aus: seinen zunächst a,b,c aus R dann folgt aus p(x)=p(1-x) zum Grad 2: $\begin{eqnarray} a_{1} x^{2} + a_{2}x+a_{0}=a_{1} (1-x)^{2} + a_{2}(1-x)+a_{0} <br /> \end{eqnarray}$ umgestellt folgt: $\begin{eqnarray} -2(a_{2}+a_{1}x+(a_{2}+a_{1})<br /> \end{eqnarray}$ wenn ich nun eine Basis des Unterraums bestimmen will, müssen die Koeffizienten gleich null sein (nur triviale Lösung) also gilt: $\begin{eqnarray} a_{2}=-a_{1}<br /> \end{eqnarray}$ und das Ergebnis setze ich jetzt in p(x) ein und erhalten meine Basis. Diese ist dann 1 sowie x^2-x. möchte ich diese jetzt zu einer Basis aus U ergänzen, schreibe ich diese in eine Matrix und prüfe mit herkömmlichen Vektoren die Unabhängigkeit. Eine Basis für U wäre dann 1, x^2-x und x (aber bspw. auch x^2+x+1 oder?) Vielen Dank!
25.07.2022, 16:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Teilmenge U eines K-Vektorraums V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn das UVR-Kriterium gilt. Das erfordert 1) U ist nicht leer 2) p+q in U für alle p, q in U 3) ap in U für alle a in K, p in U Dein Ansatz für die Berechnung der Elemente von U ist gut, aber danach kommst du auf Abwege. Hilfreich ist hier ein Koeffizientenvergleich, denn zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen. Das heißt hier $\begin{eqnarray} a_0=a_0+a_1+a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1=-a_1-2a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=a_2 \end{eqnarray}$ Dieses lineare Gleichungssystem ist aequivalent zu der Gleichung $\begin{eqnarray} a_2=-a_1 \end{eqnarray*}$ . Der Kern eines LGS vom Rang 1 in einem Vektorraum der Dimension 3 hat die Dimension 2, und dies ist der gesuchte UVR U. Es fällt dir sicher leicht, zwei linear unabhängige reelle Polynome höchstens zweiten Grades anzugeben, welche die letzte Gleichung erfüllen. (Das hast du ja schon gemacht, du hast nur noch nicht verstanden, was du gemacht hast.) Bestimmt kennst du drei oder vier Definitionen des Begriffs Basis und weißt, warum du damit eine Basis von U gefunden hast. Es besteht keine Veranlassung, sie zu einer Basis von V zu ergänzen.

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