Differentiation einer Summenformel

25.07.2022, 07:09

MMchen60

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Differentiation einer Summenformel

Liebe Forumsgemeinde,
ausgehend von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ soll ich mittels "geeigneter Differentiation" die Summe von
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \cdot x^k \end{eqnarray*}$ sowie
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot x^k \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Wie gehe ich hier vor?
Vielen Dank für Antwort.

25.07.2022, 07:55

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ ist das eine konvergente geometrische Reihe mit Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist eine Potenzreihe im Inneren des Konvergenzintervalls differenzierbar, und die Ableitung entspricht dabei der Reihe der einzeln abgeleiteten Reihenglieder - mach das hier einfach mal!

25.07.2022, 09:19

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ ist das eine konvergente geometrische Reihe mit Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Nuin, dann wäre doch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \frac {d}{dx}=\frac {1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .
Was mache ich aber mit dem $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k^3 \end{eqnarray*}$ in Aufgabe a) und b)? Und da die Grenze ja von 1 bis \infty läuft, kann ich die 0 ja vergessen, den 0 * x^0 bleibt ja 0.

25.07.2022, 10:01

georeihe

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \frac {d}{dx}=\frac {1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht besser so :

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^{\infty} x^k )'=\frac {1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Entscheidend ist aber noch das hier bereits Erwähnte:

Zitat:

...die Ableitung entspricht dabei der Reihe der einzeln abgeleiteten Reihenglieder

Was wäre also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k=1+x^1+x^2+x^3+ \ ... \end{eqnarray*}$ abgeleitet ?

25.07.2022, 13:26

MMchen60

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Zitat:

Original von georeihe
Was wäre also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k=1+x^1+x^2+x^3+ \ ... \end{eqnarray*}$ abgeleitet ?

$\begin{eqnarray*} 1+2x+3x^2+4x^3+...+k \cdot x^{k-1} \end{eqnarray*}$
und nun?

25.07.2022, 13:59

HAL 9000

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Nun was? Keine Idee, wie man von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ zum gewünschten $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} kx^k \end{eqnarray*}$ kommt? unglücklich

unglücklich

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25.07.2022, 15:16

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nun was? Keine Idee, wie man von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ zum gewünschten $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} kx^k \end{eqnarray*}$ kommt? unglücklich

unglücklich

Nein, sorry, da stehe ich im Moment auf der Leitung.

25.07.2022, 16:01

Leopold

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$\begin{align*} a^{n-1} \cdot a = a^n \end{align*}$

25.07.2022, 16:48

MMchen60

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} a^{n-1} \cdot a = a^n \end{align*}$

Na ja, Potenzregeln kann ich schon. Aber, ich kann idoch nichjt einfach
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} kx^{k-1}\cdot x=\sum\limits_{k=0}^{\infty} kx^k \end{eqnarray*}$ schreiben?

25.07.2022, 18:30

Huggy

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So einfach sicher nicht, aber fast so einfach. Wenn man jeden Term in der Summe mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert, weil man dem Wunsch nicht widerstehen konnte, dort den "richtigen" Exponenten zu bekommen, sollte man für diese "Sünde" vielleicht Buße tun und zur Kompensation die gesamte Summe mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 x \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

25.07.2022, 20:03

MMchen60

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Zitat:

Original von Huggy
sollte man für diese "Sünde" vielleicht Buße tun und zur Kompensation die gesamte Summe mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 x \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

So?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}=\frac {1}{x} \sum\limits_{k=1}^{\infty} kx^k \end{eqnarray*}$ .
Gut, OK, aber ich soll doch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} kx^k \end{eqnarray*}$ bestimmen und nicht $\begin{eqnarray*} \frac {1}{x} \sum\limits_{k=1}^{\infty} kx^k \end{eqnarray*}$ .

25.07.2022, 20:22

summarizer

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Vielleicht hilft es dir, wenn man die Ergebnisse einmal geordnet zusammenträgt:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^{\infty} x^k )'=\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}= \frac {1}{x} \sum\limits_{k=1}^{\infty} kx^k =\frac {1}{(1-x)^2}=(\frac{1}{1-x})' \end{eqnarray*}$

25.07.2022, 20:30

Huggy

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Du hast doch jetzt alle Zutaten zusammen. Ein weiterer Hinweis will mir nicht einfallen. Daher:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty x^k =\frac 1 {1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx}\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac d {dx}\frac 1 {1-x}=\frac 1 {(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Andererseits

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx}\sum_{k=0}^\infty x^k =\frac 1 x \sum_{k=1}^\infty k x^k \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac 1 x \sum_{k=1}^\infty k x^k=\frac 1 {(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multiplizieren und fertig.

25.07.2022, 22:08

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentiation einer Summenformel

Zitat:

Original von MMchen60
Liebe Forumsgemeinde,
ausgehend von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ soll ich mittels "geeigneter Differentiation" die Summe von
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \cdot x^k \end{eqnarray*}$ sowie
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot x^k \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ein Vorschlag von mir gültig für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left.1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} x^k =\frac{1}{1-x}\quad\right|\frac {\dd}{\dd x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.\sum\limits_{k=1}^{\infty}k x^{k-1} =\frac{1}{(1-x)^2}\quad\right| \cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\sum\limits_{k=1}^{\infty}k x^{k-1} =\frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Damit ist Aufgabenteil a fast gelöst. Für Aufgabe b muß dieses Verfahren ein zweites mal angewendet werden.

25.07.2022, 22:23

Leopold

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Es ist schon alles gesagt, nur nicht von allen. (Karl Valentin)

Danke, lieber Ulrich, daß du mir diesen Spruch wieder in Erinnerung gerufen hast.

26.07.2022, 09:02

MMchen60

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An alle meine Vorredner, ich bedanke mich ganz herzlich, endlich habe ich es kapiert.
Danke Wink

Wink

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