Konvergenzintervall von Potenzreihen

25.07.2022, 05:19

MMchen60

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Konvergenzintervall von Potenzreihen

Liebe Forumsgemeinde,
arbeite mich gerade etwas in Folgen und Reihen ein, hatte das Thema zu meiner Jugendzeit überhaupt nicht. Wäre deshalb für eine Antwort zu folgender Aufgabe sehr dankbar:
Man bestimme das Konvergenzintervall einschließlich des Konvergenzverhaltens in seinen Randpunkten folgender Potenzreihen
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits (-1)^{k+1}\cdot 2k^{-\frac {2}{5}} \cdot x^k \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits (k+3)^{-1}\cdot (2x+1)^k \end{eqnarray*}$
Was mich besonders wundert, das in der Aufgabe keine Summengrenzen von bis gegeben sind.
Wäre für Hilfe und Aufklärung sehr dankbar.

25.07.2022, 05:59

HAL 9000

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Da von "Potenzreihen" die Rede ist, kann nur $\begin{eqnarray*} \sum_{k=k_0}^{\infty} \end{eqnarray*}$ gemeint sein.

Dabei ist der Anfangsindex $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ zwar für den Reihenwert, jedoch aber nicht für das Konvergenzverhalten an sich (d.h. konvergent oder divergent) erheblich, insofern spielt $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ für deine Frage hier keine Rolle.

25.07.2022, 06:06

Elvis

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Recht anspruchsvolle Aufgabe, die jedenfalls immer in 2 Teile zerfällt. Zuerst berechnet man den Konvergenzradius R. Wie das (z. B. nach Hadamard) geht, steht bei Wikipedia. Dann weiß man, dass innerhalb des Konvergenzkreises um x0 mit Radius R die Potenzreihe konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert die Potenzreihe. Auf den Randpunkten, im reellen links und rechts, im komplexen auf jedem Punkt des Kreisumfangs, macht die Kenntnis des Konvergenzradius keine Aussage, dort sind spezielle Untersuchungen notwendig.
Die erste Reihe wird in x um x0=0 entwickelt, die zweite Reihe wird in y=2x um y0=-1 entwickelt.

25.07.2022, 07:32

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Recht anspruchsvolle Aufgabe, die jedenfalls immer in 2 Teile zerfällt. Zuerst berechnet man den Konvergenzradius R. Wie das (z. B. nach Hadamard) geht, steht bei Wikipedia.

OK, dann fangen wir mal an:
Für Aufgabe a) wäre dann doch $\begin{eqnarray*} a_k =(-1)^{k+1} \cdot 2k^{-\frac {2}{5}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} (x-0)^k \end{eqnarray*}$ richtiig?
Und für b) wäre $\begin{eqnarray*} a_k = (k+3)^{-1} \cdot 2^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=\frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} (x-\frac {1}{2})^k \end{eqnarray*}$ richtiig?

25.07.2022, 08:58

Elvis

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Guter Ansatz, für b) würde ich aber y statt x stehen lassen und damit weiter rechnen. Ich weiß nicht, was später bei der Rücktransformation passiert. Eine Potenzreihe in 2x ist etwas anderes als eine Potenzreihe in x.

25.07.2022, 11:21

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Guter Ansatz, für b) würde ich aber y statt x stehen lassen und damit weiter rechnen. Ich weiß nicht, was später bei der Rücktransformation passiert. Eine Potenzreihe in 2x ist etwas anderes als eine Potenzreihe in x.

Mmmh, hatte jetzt aber schon mal für die b>) so einiges gerechnet, siehe Grafik. Wäre das soweit korrekt?
Wegen Hadamar komme ich bei der a) etwas durcheinander, weil da entsteht ja dann:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac {2(-1)^{k+1}}{k^{\frac {2}{5}}}} \end{eqnarray*}$ .
Wie löse ich das denn jetzt auf, sodass das k verschwindet?
LG

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25.07.2022, 12:28

Elvis

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b) Die Entwicklung von y geht um yo=-1, der Radius ist 1. Also geht die Entwicklung von x um -1/2, der Radius ist 1/2. Für das Verhalten der Potenzreihe muss man nicht das Verhalten der Koeffizientenreihe sondern das Verhalten der Potenzreihe in den Punkten x=-1 und x=0 untersuchen.

25.07.2022, 13:04

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
b) Die Entwicklung von y geht um yo=-1, der Radius ist 1. Also geht die Entwicklung von x um -1/2, der Radius ist 1/2. Für das Verhalten der Potenzreihe muss man nicht das Verhalten der Koeffizientenreihe sondern das Verhalten der Potenzreihe in den Punkten x=-1 und x=0 untersuchen.

Habe es verbessert, hoffentlich richtig.
Was bedeutet dies mit den "Randpunkten"? Heißt, wenn das Ergebnis dort auch konvergiert, konvergiert die gesamte Potenzreihe nicht nur innerhalb des Radius?

Und, wie löse ich den Hadamar für Punkt a)?

25.07.2022, 13:32

Elvis

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Nicht so ungeduldig, lieber Freund.
$\begin{eqnarray*} S(x) =\sum_{k=0}^{\infty} (k+3)^{-1}(2x+1)^k \end{eqnarray*}$ konvergiert zwischen x=-1 und x=0.
$\begin{eqnarray*} S(-1)=\sum _{k=0}^{\infty} \frac {(-1)^k}{k+3}=\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 5... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S(0)=\sum _{k=0}^{\infty} \frac {1^k}{k+3}=\frac 1 3+\frac 1 4 + \frac 1 5... \end{eqnarray*}$
Links konvergent, rechts divergent.

25.07.2022, 13:46

Elvis

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Für die Aufgabe a) ist $\begin{eqnarray*} R=lim_{k\to \infty} |\frac {a_k} {a_{k+1}}| \end{eqnarray*}$ besser geeignet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu berechnen, da muss man stets abwägen, welche Möglichkeit erfolgreich scheint.

25.07.2022, 15:24

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Links konvergent, rechts divergent.

OK, erwischt. Und was heißt das dann, dass die Reihe von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis 0 konvergiert und ab x>=0 divergiert?
LG

25.07.2022, 15:27

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Für die Aufgabe a) ist $\begin{eqnarray*} R=lim_{k\to \infty} |\frac {a_k} {a_{k+1}}| \end{eqnarray*}$ besser geeignet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu berechnen, da muss man stets abwägen, welche Möglichkeit erfolgreich scheint.

OK; danke, werde das mal so probieren und sehen was dann rauskommt.
Bevor ich das selbst rechne, hätte das auch für Aufgabe a) funtioniert?

25.07.2022, 16:24

Elvis

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Zitat:

Original von Elvis
Recht anspruchsvolle Aufgabe, die jedenfalls immer in 2 Teile zerfällt. Zuerst berechnet man den Konvergenzradius R. Dann weiß man, dass innerhalb des Konvergenzkreises um x0 mit Radius R die Potenzreihe konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert die Potenzreihe. Auf den Randpunkten, im reellen links und rechts, im komplexen auf jedem Punkt des Kreisumfangs, macht die Kenntnis des Konvergenzradius keine Aussage, dort sind spezielle Untersuchungen notwendig.

zu b) Oben steht wichtiges aus der Theorie. Mit "Links konvergent, rechts divergent." meine ich das Verhalten dieser Potenzreihe für den linken und den rechten Punkt auf dem Konvergenzkreis.

zu a) $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty}|\frac {k+4}{k+3}|=1 \end{eqnarray*}$ hätte auch geklappt. Der gute alte Hadamard hat den entscheidenden theoretischen Vorteil, dass der Grenzwert nicht einmal existieren muss, man braucht für Hadamard nur den lim sup, das ist der größte Häufungswert. Eine schwächere Anforderung erwischt mehr Potenzreihen als die anderen Berechnungsverfahren, die alle einen Grenzwert benötigen.

25.07.2022, 18:11

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Der gute alte Hadamard hat den entscheidenden theoretischen Vorteil, dass der Grenzwert nicht einmal existieren muss, man braucht für Hadamard nur den lim sup, das ist der größte Häufungswert. Eine schwächere Anforderung erwischt mehr Potenzreihen als die anderen Berechnungsverfahren, die alle einen Grenzwert benötigen.

Tja, wenn ich aber - wie bei a) - die k-te Wurzel nicht ziehen kann, dann bleibt mir nur das zweite Verfahren. Ist das das schwächere Verfahren? Und wie erkenne ich dann, dass da "mehrere Potenzreihen" "erwischt" werden? Gibt es da mal ein Beispiel, damit man das auch praktisch versteht?

25.07.2022, 20:27

Elvis

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Wie man im Einzelfall zu einem Ergebnis kommt ist nicht wichtig. Wichtig ist nur, dass JEDE Potenzreihe genau einen Konvergenzradius HAT. Im Inneren ihres Konvergenzkreises konvergiert die Potenzreihe, im Aeusseren ihres Konvergenzkreises divergiert die Potenzreihe. Theorie ist nicht praktisch, Theorie ist theoretisch, sie erklärt wie alle Dinge funktionieren.
Manche Verfahren berechnen den Konvergenzradius als Grenzwert von Folgen, die aus den Koeffizienten gebildet werden. Wenn man diese Grenzwerte nicht berechnen kann oder wenn sie nicht existieren, dann gibt es andere Methoden, den Konvergenzradius zu berechnen. Praxis ist nicht theoretisch, Praxis ist praktisch, sie berechnet manche einzelnen Dinge.

26.07.2022, 05:59

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Wie man im Einzelfall zu einem Ergebnis kommt ist nicht wichtig. Wichtig ist nur, dass JEDE Potenzreihe genau einen Konvergenzradius HAT. Im Inneren ihres Konvergenzkreises konvergiert die Potenzreihe, im Aeusseren ihres Konvergenzkreises divergiert die Potenzreihe. Theorie ist nicht praktisch, Theorie ist theoretisch, sie erklärt wie alle Dinge funktionieren.

Nun ja, dennoch danke für die Erläuterung.
Habe das jetzt mal nach der anderen Methode für Aufgabe a) gemacht, siehe Anhang. Hoffe, dass das richtig ist?
Nochmals Danke.

26.07.2022, 06:12

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Nicht so ungeduldig, lieber Freund.
$\begin{eqnarray*} S(x) =\sum_{k=0}^{\infty} (k+3)^{-1}(2x+1)^k \end{eqnarray*}$ konvergiert zwischen x=-1 und x=0.
$\begin{eqnarray*} S(-1)=\sum _{k=0}^{\infty} \frac {(-1)^k}{k+3}=\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 5... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S(0)=\sum _{k=0}^{\infty} \frac {1^k}{k+3}=\frac 1 3+\frac 1 4 + \frac 1 5... \end{eqnarray*}$
Links konvergent, rechts divergent.

Habe gerade mal die Lösungen des Rechenbuches konsultiert, Rechenweg ist dort nicht angegeben, nur Ergebnis. Da steht lediglich $\begin{eqnarray*} -\frac {1}{2} \leq x < \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$
Da ich ja für R ebenfalls 0,5 habe, bedeutet diese Lösung doch, dass $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sein muss oder? Aber wieso?

26.07.2022, 06:51

Elvis

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Wir sind besser als das Buch. Wir kennen die Theorie der Potenzreihen. Wir kennen den Mittelpunkt x0=-1/2 wegen 2x0+1=0. Wir können auf mehrere Arten den Konvergenzradius R=1/2 berechnen. Wir wissen, was am Rand passiert. Da die Reihe schon bei x=0 divergiert, kann sie für x>0 theoretisch nicht konvergieren, also auch praktisch nicht. Glaube nicht, was in einem Buch steht, glaube nicht, was jemand sagt, glaube nur das, was du selbst begründen kannst.

26.07.2022, 07:05

MMchen60

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OK, danke, dann erklären wir dei Buchlösung als falsch.
Habe jetzt noch ein ähnliches Problem und eröffne damit einen neuen Thread. Wäre lieb, wenn du da auch mal draufschauen könntest.
LG Wink

Wink

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