Fourier-Reihe

25.07.2022, 08:06

MMchen60

Fourier-Reihe

Liebe Forumsgemeinde,
im Zuge meiner autodidaktischen Horizonterweiterung (:-)) beschäftige ich mich gerade mit Fourrier-Reihen und knobele an folgender Aufgabe:
Die folgenden periodischen Funktionen f, die die Periode T besitzen, sind in Fourrier-Reihen
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac {a_0 }{2}+\sum \left (a_k cos(\frac {2\pi kx}{T}) + b_k sin(\frac {2\pi kx}{T}) \right );\;\;\;k=(1;2...) \end{eqnarray*}$
zu entwickeln. An denjenigen Stellen x, wo die Angabe von f(x) im Intervall der Länge T fehlt, ist f so zu definieren, dass auch dort die Reihe die Funktion f darstellt.

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\left | sin(\frac {2\pi kx}{T}) \right | \;\; (0<x<T) \end{eqnarray*}$ ; speziell x=0
b) f(x)=0 für $\begin{eqnarray*} -\pi < x < 0 \end{eqnarray*}$ , f(x)=x für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \pi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x+2n\pi)=f(x);\;\; n=\pm\;1,\; \pm\;2\; \pm\;3\;... \end{eqnarray*}$ speziell $\begin{eqnarray*} x=\frac {\pi}{2} \end{eqnarray*}$
Vielen Dank für Antwort.

25.07.2022, 09:08

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von MMchen60
Vielen Dank für Antwort.

Wie lautet denn die Frage?

Viele Grüße
Steffen

25.07.2022, 09:35

MMchen60

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wie lautet denn die Frage?
Viele Grüße
Steffen

Steht doch oben:
Die folgenden periodischen Funktionen f ...zu entwickeln.
a); b)
Wie geht man da vor?

25.07.2022, 09:56

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Na, wie immer - die Koeffizienten berechnen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} \! f(t) \cdot \cos(n \omega_{0} t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} \! f(t) \cdot \sin(n \omega_{0} t) \, dt \end{eqnarray*}$

25.07.2022, 10:54

MMchen60

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Na, wie immer - die Koeffizienten berechnen:

Gut, OK, da ich das noch nie gemacht habe, könntest du mir das bitt für die a) mal vormachen? Wie lautet dann die komplette Funktionsgleichung? Und was bedeutet da speziell x=0?
Danke.

25.07.2022, 11:08

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Es geht doch bei a, wenn ich die Formel mal korrigieren darf, um $\begin{eqnarray*} f(x)=\left | \sin \left( \frac {2\pi x}{T} \right) \right | \;\; (0<x<T) \end{eqnarray*}$ , also mit $\begin{eqnarray*} T=1 \end{eqnarray*}$ um diesen gleichgerichteten Sinus:

Welchen Wert der bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ annimmt, siehst Du?

Und jetzt, wie gesagt, in die Formel einsetzen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} \! f(t) \cdot \cos(n \omega_{0} t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} \! \left | \sin \left( \frac {2\pi t}{T} \right) \right | \cdot \cos(n \omega_{0} t) \, dt \end{eqnarray*}$

Kriegst Du hin, oder?

25.07.2022, 15:27

MMchen60

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Kriegst Du hin, oder?

Leider nein. Integralrechner meldet - siehe Anhang -, zunächst ohne Grenzen.
Was ist n? Und $\begin{eqnarray*} \omega_0=\frac {2\pi}{T} \end{eqnarray*}$ ?

25.07.2022, 15:33

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von MMchen60
Integralrechner meldet - siehe Anhang -

Du sollst ja auch selber integrieren. Du kannst den Betrag doch einfach loswerden, indem Du das Integral in die positive und negative Halbwelle des Sinus zerlegst. Dann noch etwas mit den Additionstheoremen arbeiten.

Zitat:

Original von MMchen60
Was ist n?

Der Index der Harmonischen. Fourier hat bewiesen, dass ein periodisches Signal in Sinusschwinungen der Grundfrequenz (n=1), der doppelten Grundfrequenz (n=2), der dreifachen Grundfrequenz (n=3) und so weiter zerlegt werden kann.

Zitat:

Original von MMchen60
Und $\begin{eqnarray*} \omega_0=\frac {2\pi}{T} \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Du kannst ja mal ins Ergebnis des Integralrechners einsetzen, vereinfachen und dann 0 und T einsetzen. Oder gleich in Deine selber bestimmte Formel, wie oben beschrieben. Es dürfte sich einiges auflösen.

25.07.2022, 17:16

MMchen60

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du kannst ja mal ins Ergebnis des Integralrechners einsetzen, vereinfachen und dann 0 und T einsetzen. Oder gleich in Deine selber bestimmte Formel, wie oben beschrieben. Es dürfte sich einiges auflösen.

Wenn ich im Integralrechner die Grenzen einsetze, meldet er "Integral kann nicht gebildet werden".

Wenn ich deinen Tipp mit den Additionstheoremen nehme, sähe das dann so aus wie im Anhang?

25.07.2022, 17:21

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Ja, so meinte ich es. Dann wie beschrieben weiter.

Du hättest Dir für die erste Fourierreihe Deines Lebens allerdings auch was Leichteres als den Sinusbetrag wählen können. Rechteck und Sägezahn sind weitaus dankbarer.

25.07.2022, 17:34

MMchen60

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, so meinte ich es. Dann wie beschrieben weiter.

Du hättest Dir für die erste Fourierreihe Deines Lebens allerdings auch was Leichteres als den Sinusbetrag wählen können. Rechteck und Sägezahn sind weitaus dankbarer.

, Ist ne Aufgabe aus siehe Anhang und wurde einem armen Studenten der Uni Dresden als Vorbereitungsaufgabe zur nächsten Klausur benannt.

Aber, ich denke mal, das wird er nicht so schnell kapieren, ich werde die Aufgabe für mich aber dennoch zu Ende führen, um generell zu verstehen, wie das geht.

Mit fällt da übrigens noch ein, dass ich das gleiche Spielchen ja auch noch für bn machen muss oder? Und wieviele n müssen da berechnet werden oder ist das Wahlfrei?

25.07.2022, 17:46

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von MMchen60
Mit fällt da übrigens noch ein, dass ich das gleiche Spielchen ja auch noch für bn machen muss oder?

Prinzipiell schon. Hier ist die zu transformierende Funktion allerdings gerade, daher können sich nur Cosinusglieder ergeben, die b-Koeffizienten sind also allesamt Null.

Zitat:

Original von MMchen60
Und wieviele n müssen da berechnet werden oder ist das Wahlfrei?

Du sollst ja keine Koeffiziententabelle aufstellen, sondern nur die allgemeine Formel in Abhängigkeit von n (in der Aufgabenstellung als k bezeichnet) hinschreiben. Je mehr Sinusschwingungen Du in der Praxis dann spendierst, desto mehr schmiegt sich die Summe an die Originalfunktion an. Ich höre meistens auf, wenn die Zahlen weniger als ein Zehntel der Grundschwingungskomponente betragen.

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