Stetigkeit

25.07.2022, 10:35

maths4u

Stetigkeit

Hallo an alle!

Ich soll hier wieder auf Stetigkeit überprüfen, eventuelle unstetigkeitsstellen angeben und einen sinnvollen Definitionsbereich angeben.

Wie muss ich hier genau vorgehen? Gleich wie das vorige Beispiel? Ich hab da auch eine Begründung hingeschrieben, aber die scheint mir zu wenig. Muss ich da nichts ausrechnen?

25.07.2022, 11:16

penny

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In diesem Beispiel gibt es eine kritische, untersuchenswerte Stelle bzw. einen Punkt hinsichtlich der Stetigkeit der Funktion.

Dein Argument für Unstetigkeit in (0,0) ist falsch, denn du beziehst dich auf den Teil der Funktion, der für (0,0) gar nicht definiert ist.

Du hast doch sicher irgendwo stehen, wie genau (mit welcher Definition) ihr Stetigkeit prüfen sollt, oder ?

25.07.2022, 11:28

maths4u

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Nein, leider steht da nicht mit welcher Definition man die Stetigkeit überprüfen soll. Deswegen war ich ja ziemlich verwirrt, bin's immer noch. Ich hab' die Aufgabe ehrlich gesagt immer noch nicht verstanden.

25.07.2022, 11:35

penny

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Wenn ihr nicht definiert/behandelt habt, wie man Stetigkeit prüft, dann würde ich die Aufgabe sein lassen.
Oder machst du das im Auftrag für jemand anderen ?

Es gibt - wie so oft - viele Möglichkeiten, um eine Aufgabe zu lösen.
Entscheidend als Grundlage ist halt das, was man nutzen darf bzw. soll.

25.07.2022, 11:51

maths4u

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Diese Themen kommen zur Prüfung und die muss ich leider können. Wir haben nur eine Aufgabe dazu gemacht, wo wir nicht gerechnet haben, sondern wo wir nur mündlich besprochen haben, warum die Funktion stetig bzw. nicht stetig ist. Aber die Aufgabe war ja auch bisschen anders.
Welche Definition scheint für dich am einfachsten? Können wir mal mit irgendeiner Methode rechnen? ich hab auch YT-Videos dazu angeschaut, aber die haben mir auch nicht weitergeholfen, da die Aufgabenstellungen ziemlich unterschiedlich waren.

25.07.2022, 14:02

Huggy

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Um zu zeigen, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist zu zeigen

$\begin{eqnarray*} \lim_{|(x,y)-(x_0,y_0)| \to 0} \, f(x,y)=f(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} |(x,y)-(x_0,y_0)|=\sqrt {(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \end{eqnarray*}$

Anschaulich: Wenn sich der Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ dem Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ nähert (egal wie), dann muss sich der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ dem Wert $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ nähern. Mit $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet das, es ist zu zeigen

$\begin{eqnarray*} \lim_{\sqrt {x^2+y^2} \to 0} \, f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

im vorliegenden Fall zeigt man das am einfachsten durch den Übergang zu Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} x=r \cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{\sqrt {x^2+y^2} \to 0}=\lim_{r \to 0} \end{eqnarray*}$

Nun setz das mal in deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ein.

25.07.2022, 15:23

maths4u

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Erstmal danke für deine Antwort Huggy!
Ich hab einige Schritte nicht nachvollziehen können, warum bildest du in der 4. Zeile die Differenz von (x,y)-(x0, y0) ? Dann steht ja in der Wurzel (x-x0)^2+(y-y0)^2, aber wieso?
Den gesamten Schritt habe ich noch nicht verstanden

Edit: In dem Fall stellt y die Funktion f(x) dar, deswegen die Differenz, da man sich ja von oben nach unten annähert, oder?

25.07.2022, 15:43

Huggy

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Zitat:

Original von maths4u
warum bildest du in der 4. Zeile die Differenz von (x,y)-(x0, y0) ? Dann steht ja in der Wurzel (x-x0)^2+(y-y0)^2, aber wieso?

$\begin{eqnarray*} |(x,y)-(x_0,y_0)| \end{eqnarray*}$ ist der Abstand der Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ voneinander oder auch die Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} (x,y)-(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und das ist nun mal $\begin{eqnarray*} \sqrt {(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \end{eqnarray*}$ . Der Anfang bei mir ist einfach eine Variante, wie man die Stetigkeit definieren kann.

Zitat:

Edit: In dem Fall stellt y die Funktion f(x) dar, deswegen die Differenz, da man sich ja von oben nach unten annähert, oder?

Diese Bemerkung verstehe ich überhaupt nicht.

25.07.2022, 16:04

maths4u

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Alles klar. Ich rechne mal weiter, vielleicht wird die Aufgabe verständlicher.
Also ich habs jetzt in die Funktion eingesetzt:

25.07.2022, 16:18

Huggy

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Im Nenner hast du falsch gerechnet. Du hast den Anfängerfehler $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2+b^2}=a+b \end{eqnarray*}$ gemacht. Das ist grottenfalsch. Beachte für den Nenner

$\begin{eqnarray*} r^2 \cos^2 \varphi +r^2 \sin^2 \varphi=r^2(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) \end{eqnarray*}$

und erinnere dich an den trigonometrischen Pythagoras. Ausklammern sollte man auch im Zähler.

25.07.2022, 17:26

maths4u

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Also so?

25.07.2022, 17:58

Huggy

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Jetzt hast du im Zähler einen Fehler gemacht. Du hast das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \sin^2 \varphi \end{eqnarray*}$ geändert. Korrekt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=r(\cos \varphi \sin \varphi - \cos^2 \varphi +\sin^2 \varphi) \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte man schon sehen, dass das gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht, wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht. Das gilt es sauber zu beweisen. Dazu betrachtet man $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \end{eqnarray*}$ und schätzt dann die trigonometrischen Teile nach oben ab.

28.07.2022, 23:06

versucher

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Ich bin zwar nicht der Fragesteller, würde aber gern aus Interesse versuchen, den Vorschlag von Huggy zu Ende zu führen.

Zitat:

Dazu betrachtet man |f(x,y)| und schätzt dann die trigonometrischen Teile nach oben ab.

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|=|r(\cos \varphi \sin \varphi - \cos^2 \varphi +\sin^2 \varphi)|=r \cdot |\cos \varphi \sin \varphi - \cos^2 \varphi +\sin^2 \varphi| \underbrace{\leq}_{DUG} r \cdot (|\cos \varphi \sin \varphi |+|- \cos^2 \varphi|+|\sin^2 \varphi|) \leq r \cdot (1+1+1)=3r \underbrace{\to}_{r \to 0} 0 \end{eqnarray*}$

Ohne Polarkoordinatensubstitution hätte ich mir diese Einschachtelung für den Sandwichsatz überlegt:

$\begin{eqnarray*} \frac{xy-x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}+1} \leq \frac{xy-x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{xy+y^2}{\sqrt{y^2}}=\frac{y \cdot(x+y)}{|y|}=\pm (x+y) \end{eqnarray*}$

Die beiden äußeren Terme streben für (x,y) ---> (0,0) offenbar gegen Null und somit auch $\begin{eqnarray*} \frac{xy-x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung oder habe ich etwas falsch gemacht ?

29.07.2022, 10:27

Huggy

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Deine Abschätzung in Polarkoordinaten ist korrekt. Deine zweite Rechnung ist nicht korrekt. Das erste $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Betrachte $\begin{eqnarray*} (x,y)=(1,0) \end{eqnarray*}$ . Dann behauptet es

$\begin{eqnarray*} -\frac 1 2 \leq -1 \end{eqnarray*}$

was offensichtlich falsch ist. Wenn man auf Polarkordinaten verzichten will, kann man wegen $\begin{eqnarray*} |x||y| \leq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ z.B. so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \left | \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\right | \leq \frac {|x||y|+x^2 +y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\leq \frac {2(x^2+y^2)}{\sqrt {x^2+y^2}}=2 \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

30.07.2022, 01:44

versucher

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Stimmt, für (x,y)=(1,0) wird der Bruch negativ und dann ist die Abschätzung nach unten falsch.
Es liegt aber auch wirklich nur daran, dass es hier möglich ist, dass im Zähler negative Werte entstehen können, falls im Zähler nur positive Werte möglich wären, dann wäre die Abschätzung gültig, oder irre ich mich auch damit ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left | \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\right | \leq \frac {|x||y|+x^2 +y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\leq \frac {2(x^2+y^2)}{\sqrt {x^2+y^2}}=2 \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Da hier nach dem ersten $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ wegen der Dreiecksungleichung ausschließlich positive Ausdrücke im Zähler entstehen, hätte man dann auch durch sowas wie $\begin{eqnarray*} \left | \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\right | \leq \frac {|x||y|+x^2 +y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}= \frac {|x||y|}{\sqrt{x^2 +y^2}}+\sqrt {x^2+y^2} \leq \frac{|x||y|}{|x|}+\sqrt {x^2+y^2}=|y|+\sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ abschätzen können oder übersehe ich da wieder etwas ?

30.07.2022, 08:34

Huggy

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Das sieht auf den ersten Blick gut aus, hat aber doch einen kleinen Haken, der allerdings leicht behebbar ist. Der Haken liegt hier:

$\begin{eqnarray*} \frac {|x||y|}{\sqrt{x^2 +y^2}}+\sqrt {x^2+y^2} \leq \frac{|x||y|}{|x|}+\sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Im Fall $\begin{eqnarray*} (x=0, y \neq 0) \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \frac{|x||y|}{|x|} \end{eqnarray*}$ zu einem unbestimmten Ausdruck. Dazu kann man aber ausführen, dass in diesem Fall sich schon der Ausgangsterm

$\begin{eqnarray*} \left | \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\right | \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ vereinfacht und für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist alles in bester Ordnung.

30.07.2022, 11:18

versucher

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Stimmt, den von dir angesprochenen Fall hätte ich noch sauber betrachten müssen.

Noch 2 Verständnisfragen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left | \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\right | \leq \frac {|x||y|+x^2 +y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\leq \frac {2(x^2+y^2)}{\sqrt {x^2+y^2}}=2 \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Damit man die unteren und oberen Schranken sieht, könnte man das dann auch wieder umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} -2 \sqrt {x^2+y^2} \leq \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}} \leq 2 \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} 0 \leq \left | \frac {xy-x^2+y^2}{\sqrt {x^2+y^2}}\right | \leq 2 \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ?

Und die zweite Frage wäre, ob eine Polarkoordinatenbetrachtung oft durch den eh schon beschränkten Wertebereich von Sinus und Kosinus zu einfacheren Abschätzungen führt oder wann genau lohnen sich Polarkoordinaten bei zweidimensionalen Funktionen ?

30.07.2022, 12:58

Huggy

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Diese Umschreibung kann man machen. Das wird aber als unnötig erachtet und normalerweise macht das auch niemand. Es gilt ja generell $\begin{eqnarray*} 0 \leq |xxx| \end{eqnarray*}$ . Eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} |xxx| \leq yyy \end{eqnarray*}$ ist damit immer äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 0 \leq |xxx| \leq yyy \end{eqnarray*}$ . Das ist die sozusagen die triviale Form des Sandwichlemmas.

Wann sich der Übergang zu Polarkoordinaten lohnt, lässt sich nicht allgemein sagen. Ich schaue mir immer einfach an, ob das die Sache vereinfacht.

30.07.2022, 21:35

versucher

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Vielen Dank für das weitere Vertiefen der Aufgabe.
Ich bin beim Abschätzen generell noch nicht so sicher und falle immer mal wieder auf solche eigentlich einfachen Sachen wie hier rein.
Hast du vielleicht noch irgendwelche Tipps für mehr Routine bei Abschätzungen bzw. worauf man da generell achten sollte ?

31.07.2022, 08:29

Huggy

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Es ist generell empfehlenswert, zu Beträgen überzugehen. Dann führt eine Verkleinerung des Nenners auch immer zu einer Vergrößerung des Gesamtausdrucks. Auch sollte man immer darauf achten, dass nicht durch Null geteilt wird. Ansonsten hilft nur Übung. Die Boardsuche sollten einiges an Beispielen liefern. Ein Nachweis der Stetigkeit ist oft einfacher als ein Nachweis der Unstetigkeit. Bei Letzterem kommt es meist darauf an, geschickt Wege zu finden, die zu unterschiedlichen Grenzwerten führen.

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