Konvergenzintervall Potenzreihe aus Klausuraufgabe

26.07.2022, 09:09

MMchen60

Konvergenzintervall Potenzreihe aus Klausuraufgabe

Hallo liebe Forumsgemeinde,
Ich habe noch eine Klausuraufgabe WS 2021/2022 Uni Dresden zum Konvergenzintervall einer Potenzreihe. Habe versucht aus den Lehren des anderen Threads das mal aufzustellen, siehe Anhang, bekomme aber R=0 heraus. Was ist da falsch?
Danke für Antwort.

26.07.2022, 09:14

HAL 9000

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k!} \end{eqnarray*}$ nicht vernünftig einordnen/abschätzen kannst, dann versuche es doch stattdessen mit dem Quotientenkriterium, d.h. $\begin{eqnarray*} R=\lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right| \end{eqnarray*}$ (sofern existent).

Ist generell eine gute Idee, wenn die Reihenkoeffizienten Fakultäts-Faktoren enthalten, wo sich beim Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ dann so einiges rauskürzen lässt...

26.07.2022, 10:33

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
versuche es doch stattdessen mit dem Quotientenkriterium,

Hallo Danke,
Habe das auch noch gemacht, siehe Anhang und kommt auch 0 raus, also alle Potenzreihen sind unabhängig von x konvergent.

26.07.2022, 11:03

umschreiber

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Vielleicht hilft dir eine etwas geordnetere Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} a_k=\left (\frac{k}{3} \right)^k \cdot \frac{1}{k! \cdot e^k} \cdot 4^k=\left (\frac{4}{3e} \right)^k \cdot \frac{k^k}{k! } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}=\left (\frac{4}{3e} \right)^k \cdot \frac{4}{3e} \cdot \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k! \cdot (k+1)} \end{eqnarray*}$

26.07.2022, 14:51

HAL 9000

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@MMchen60

Wiederholt beobachte ich, wie du ohne jede Begründung Grenzwerte einfach Null setzt. unglücklich

Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} = \lim_{k\to\infty} \left(\frac{k+1}{k}\right)^k = \lim_{k\to\infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k = e \end{eqnarray*}$ , den Grenzwert sollte man kennen!!!

26.07.2022, 16:53

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
@MMchen60
Wiederholt beobachte ich, wie du ohne jede Begründung Grenzwerte einfach Null setzt. unglücklich

Ohhweia, ja, danke, also haben wir 1/3 und da ich ja umgekehrt gebildet habe, ist R=3.
Danke.

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