n hoch n für sehr kleine negative Zahlen

26.07.2022, 11:19

rds

n hoch n für sehr kleine negative Zahlen

wenn ich den Ausdruck n hoch n für sehr keine negative Zahlen berechne, z.B. n=-0,001, dann ergibt sich eine komplexe Zahl.

Je kleiner die Zahl n wird, desto mehr nähert sich der Realteil an die Zahl 1 an, während sich der Imaginärteil an die Zahl (pi*n) i annähert.

Wieso ist das so? Es wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielen Dank

ein kleines Python-Programm veranschaulicht das Problem:
import math

def ptz(x):
....erg= x**x
....return erg

n= -1e-25
zahl=ptz(n)
print(type(zahl))
print ("Realteil: ",zahl.real)
print("Imaginärteil: ", zahl.imag)

26.07.2022, 12:20

Steffen Bühler

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RE: n hoch n für sehr kleine negative Zahlen [Zahlentheorie]
Willkommen im Matheboard!

Es ist

$\begin{eqnarray*} n^n=e^{n \cdot \ln (n)} = e^{n \cdot (\ln |n| + i \cdot \arg(n))} \end{eqnarray*}$

Für reelle negative n gilt $\begin{eqnarray*} \arg(n) = \pi \end{eqnarray*}$ , somit

$\begin{eqnarray*} n^n=e^{n \cdot \ln |n|} \cdot e^{i \cdot n \cdot \pi} = e^{n \cdot \ln |n|} \cdot \big( \cos (n \cdot \pi) + i \cdot \sin ( n \cdot \pi) \big) \end{eqnarray*}$

Der Cosinus geht für kleine Argumente gegen Eins, der Sinus entspricht für kleine Argumente seinem Argument. Nun muss nur noch gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} ( n \cdot \ln (|n|)= 0 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

26.07.2022, 16:03

rds

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RE: n hoch n für sehr kleine negative Zahlen [Zahlentheorie]
Vielen Dank für die schnelle und nachvollziehbare Antwort.

Ein gedankliches Problem bleibt bei mir aber trotzdem noch.
Es gilt ja 0^0=1
Ich wollte das numerisch nachvollziehen und habe deshalb n^n für immer kleiner werdende n berechnet. Für positive n geht dann n^n tatsächlich nachvollziehbar gegen 1.
Wenn man sich von der negativen Seite her an 0 annähert, d.h für immer kleiner werdende negative n geht zwar der Realteil von n^n auch gegen 1, der zugehörige Imaginärteil aber wird, entgegen dem was ich erwartet hätte, nie 0. Es verbleibt immer ein, zwar immer kleiner werdender, imaginärer Rest der Größe n*pi.

Viele Grüße
rds

26.07.2022, 16:20

HAL 9000

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RE: n hoch n für sehr kleine negative Zahlen [Zahlentheorie]

Zitat:

Original von rds
Es gilt ja 0^0=1

Das ist Ansichtssache: In sehr vielen Fällen (z.B. bei Polynomen) setzt man die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^0 \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} x^0 = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, einfach stetig in den Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ fort - in dem Sinne setzt man $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dass man das auch anders sehen kann, beweist die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto 0^x \end{eqnarray*}$ : Für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt das stets $\begin{eqnarray*} 0^x=0 \end{eqnarray*}$ , und wenn man das für $\begin{eqnarray*} x\searrow 0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzt...

Das bedeutet: Selbst wenn man $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ weiß, hängt es doch von der konkreten Gestalt der Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ ab, ob der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x)^{g(x)} \end{eqnarray*}$ existiert und falls ja, wie groß er ist!!!

26.07.2022, 16:30

Steffen Bühler

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RE: n hoch n für sehr kleine negative Zahlen [Zahlentheorie]

Zitat:

Original von rds
der zugehörige Imaginärteil aber wird, entgegen dem was ich erwartet hätte, nie 0. Es verbleibt immer ein, zwar immer kleiner werdender, imaginärer Rest der Größe n*pi.

Der Grenzwert ist hier aber durchaus Null: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} (n \cdot \pi ) = 0 \end{eqnarray*}$

26.07.2022, 16:48

HAL 9000

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Übrigens sollte man den Zusatz "[Zahlentheorie]" im Titel streichen: Mit Zahlentheorie hat das hier nicht im geringsten zu tun. Augenzwinkern

29.07.2022, 01:16

klauss

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RE: n hoch n für sehr kleine negative Zahlen [Zahlentheorie]
Eine Feinheit der Sprachregelung würde ich an diesem Beispiel gern klären lassen:

Man liest hier

Zitat:

Original von rds
Wenn man sich von der negativen Seite her an 0 annähert, d.h für immer kleiner werdende negative n ...

Zutreffend wäre sicher

Zitat:

Wenn man sich von der negativen Seite her an 0 annähert, d.h für betraglich immer kleiner werdende negative n ...

Läßt man den fetten Zusatz aber weg, müßte es nicht

Zitat:

Wenn man sich von der negativen Seite her an 0 annähert, d.h für immer größer werdende negative n ...

heißen?

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