Dreiecksberechnung

26.07.2022, 17:47

MathePaul

Dreiecksberechnung

Hi,

ich hänge an folgender Aufgabe:

"In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Schenkel doppelt so lang wie die Grundseite. Berechnen Sie die Winkel dieses Dreiecks."

Mein Ansatz wäre gewesen, "fiktive" Längen wie für die Seiten a = b = 2 LE zu nehmen und für c = 1 LE.
So komm ich mit Hilfe des Kosinussatzes auf $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha ) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Dafür müsst ich dennoch den Taschenrechner benutzen um den Winkel zu berechnen.

Gibts da eine Möglichkeit die Winkel ohne Taschenrechner zu berechnen?

Grüße

26.07.2022, 20:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksberechnung

Zitat:

Original von MathePaul
Gibts da eine Möglichkeit die Winkel ohne Taschenrechner zu berechnen?

Nein.

(Selbstverständlich verstehe ich die Frage in dem Sinn, daß $\begin{align*} \cos(\alpha) = \frac{1}{4} \end{align*}$ auf ein in irgendeiner Weise ausgezeichnetes rationales Vielfaches von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ führt.)

26.07.2022, 20:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathePaul
Gibts da eine Möglichkeit die Winkel ohne Taschenrechner zu berechnen?

Na klar: Mit Rechenstab und/oder Tafelwerk. Hab ich in meiner Schulzeit (gerade noch) kennengelernt, und Leopold sicher auch. Augenzwinkern

27.07.2022, 09:44

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

So komm ich mit Hilfe des Kosinussatzes

Damit ist Folgendes gemeint:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexiko...kel/kosinussatz

27.07.2022, 09:51

MathePaul

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antworten @HAL9000 und @Leopold !

@adiutor62, ja genau damit bin ich ja auf cos(alpha) = 1/4 gekommen.

VG

05.08.2022, 15:15

gast_free

Auf diesen Beitrag antworten »

So ein Dreieck ist symmetrisch. Somit braucht man nur eine Symmetrielinie durch die Spitze oben zu legen. Diese teilt dann die Grundseite c in zwei gleiche Hälften.

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} a=b=2\cdot c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=\frac{\frac{c}{2}}{b}=\frac{c}{2\cdot b}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Um den Wert für den Winkel zu berechnen könnte man es mit einer Näherung für den Kosinus probieren.
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=1-\frac{\alpha^2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}=1-\frac{\alpha^2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha^2}{2}+\frac{1}{4}-1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha^2}{2}-\frac{3}{4}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha^2}{2}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha^2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Lösung in Bogenmaß:
$\begin{eqnarray*} \alpha \approx \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Umrechnung in Altgrad:
$\begin{eqnarray*} \alpha \approx \frac{180}{\pi}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}=70,17 Grad \end{eqnarray*}$

Der richtige Wert liegt bei etwa 75,5 Grad. Diese Näherung ist also in diesem Wertebereich schon relativ ungenau. Der Fehler liegt zwischen sieben und acht Prozent.

06.08.2022, 10:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir den Spaß noch weiter treiben wollen, so ist mit $\begin{align*} \cos \alpha \approx 1 - \frac{1}{2} \alpha^2 + \frac{1}{24} \alpha^4 \end{align*}$ die Gleichung

$\begin{align*} \alpha^4 - 12 \alpha^2 + 18 = 0 \end{align*}$

zu lösen. Man erhält

$\begin{align*} \alpha \approx \sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \approx 75{,}9544^{\circ} \end{align*}$

Noch lustiger wird es mit $\begin{align*} \cos \alpha \approx 1 - \frac{1}{2} \alpha^2 + \frac{1}{24} \alpha^4 - \frac{1}{720} \alpha^6 \end{align*}$ . Dies führt auf die Gleichung

$\begin{align*} \alpha^6 - 30 \alpha^4 + 360 \alpha^2 - 540 = 0 \end{align*}$

Hier bekommt man

$\begin{align*} \alpha \approx \sqrt{10 + \sqrt[3]{10 \left( 3 \sqrt{321} - 53 \right)} - \sqrt[3]{10 \left( 3 \sqrt{321} + 53 \right)}} \approx 75{,}5094^{\circ} \end{align*}$

Und jetzt will ich das nicht fortsetzen, denn

Hanc marginis exiguitas non caperet.

07.08.2022, 09:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann natürlich auch über die Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1) 4^{3k+1}}\binom{2k}{k} \end{eqnarray*}$

gehen und so viele Reihenglieder bestimmen, wie eben nötig sind (mit der Partialsumme bis k=5 etwa hat man 7 Nachkommastellen gesichert).

07.08.2022, 18:51

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist hier die sin- bzw. cos-Reihe oder die Taylor-Reihe effizienter? Welche dieser beiden Vorgehensweisen kommt zu einer gleichen Ergebnis-Genauigkeit mit der kleinsten verbrauchten Rechenzeit eines Computers?
Das Betrachten nur der Anzahl der ausgewerteten Reihenglieder führt hier offenbar zu falschen Einsichten?

07.08.2022, 18:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso "oder Taylorreihe" ? Was Leopold genutzt hat, ist die Taylorreihe der Kosinusfunktion, während ich die Taylorreihe der Arkussinusfunktion benutzt habe sowie $\begin{eqnarray*} \arccos(x) = \frac{\pi}{2}- \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ .

08.08.2022, 10:47

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Wieso "oder Taylorreihe" ? Was Leopold genutzt hat, ist die Taylorreihe der Kosinusfunktion, während ich die Taylorreihe der Arkussinusfunktion benutzt habe sowie $\begin{eqnarray*} \arccos(x) = \frac{\pi}{2}- \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ .

Wo genau liegt die bessere Effizienz bei deinem Vorgehen?

08.08.2022, 11:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergleich doch mal Leopolds letztes Resultat sowie das der Arkussinusreihe (selbst wenn du bei letzterer nur bis k=1 gehst) mit dem exakten Resultat. Ich denke auch nicht, dass Leopold seine Methode oben ernsthaft unter Effizienzgesichtspunkten in den Ring geworfen hat - zumal man bei größerem Polynomgrad dann Näherungsverfahren zur Lösungsbestimmung einsetzen muss... Augenzwinkern

Zielresultat ist $\begin{eqnarray*} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) \approx 1.31812\approx 75.5225^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Leopolds letztes Resultat ist $\begin{eqnarray*} 75.5094^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} s_n = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1) 4^{3k+1}}\binom{2k}{k} \end{eqnarray*}$ kommt man zu

$\begin{eqnarray*} s_1 = 1.318192 \approx 75.5268^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2 = 1.318119 \approx 75.5227^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3 = 1.318116 \approx 75.5225^{\circ} \end{eqnarray*}$

Weiter muss ich bei der angegebenen Genauigkeit wohl nicht gehen. Und $\begin{eqnarray*} s_n = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{2k+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{4^{3k+1}}\binom{2k}{k} \end{eqnarray*}$ ist ja sehr einfach im rekursiven Rechenschema zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_k = a_{k-1}\cdot \frac{2k-1}{32k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{-1}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_k = s_{k-1}-\frac{a_k}{2k+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

08.08.2022, 11:34

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich denke auch nicht, dass Leopold seine Methode oben ernsthaft unter Effizienzgesichtspunkten in den Ring geworfen hat

So ist es. Es war einfach nur ein Witz. Ich wollte das Verfahren von gast_free ins Absurde überdehnen. Wer bestimmt schon den Winkel zu einem Cosinuswert mit Cardano! Außer natürlich Leopold, wenn er gerade etwas übermütig ist...

15.08.2022, 02:35

Phenix

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksberechnung
Hallo MathePaul,
ganz einfach: arccos(0,5/2) = 75,52°
180° - 2*75,52° = 28,96°
Das gleichschenkelige Dreieck hat die Winkel:
75,52° - 28,96° - 75,52°
Grüße, Phenix
PS: ohne TR kann ich arccos(1/4) nicht berechnen!

15.08.2022, 10:38

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, daß sich endlich jemand, der sich auskennt, der Sache angenommen hat.

Neue Frage »

Antworten »

Dreiecksberechnung

Verwandte Themen