Abbildung bestimmen mittels Polynom

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MaWie Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung bestimmen mittels Polynom
Meine Frage:

Hallo zusammen!
Folgende Übungsaufgabe liegt mir vor!
Es sei V der R-Vektorraum der reellen Polynome des Grades
höchstens 2.
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
VxV -> R; (f; g) -> f(0)g(0) + f(1)g(1) + f(2)g(2) ein Skalarprodukt ist.

Meine Ideen:
Wenn ich eine Matrix gegeben habe, ist es kein Problem mehr zu zeigen, dass eine Abbildung ein Skalarprodukt ist (positiv definit und symmetrisch.

Letztendlich aber, habe ich immer wieder das gleiche Problem:
Ich komme von der Abbildungsvorschrift nicht auf die Matrix. Ich bin zwar der Meinung, es ist überhaupt nicht schwer, jedoch komme ich nur mit raten oder ewigem Probieren auf eine Lösung. Ich bin der Meinung es funktioniert immer gleich...

Um jede Hilfe wäre ich dankbar!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung bestimmen mittels Polynom
Du brauchst überhaupt keine Matrix. Überprüfe einfach die Definition für ein Skalarprodukt .

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_(Axiomatik)

Dort Punkt 2.1
MaWie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung bestimmen mittels Polynom
Hallo vielen Dank!
Jedoch kann man doch daraus eine Matrix angeben.
Und wie dieser Schritt aussieht ist mein Hauptproblem.

Anders Bsp. wäre, wenn man zur Basis 1,x,x^2 in R^2 eine Abbildungsmatrix angeben soll für die Vorschrift P(x) -> P´(x)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung bestimmen mittels Polynom
Du zäumst das Pferd von hinten auf. Es ist richtig, bei endlich-dimensionalen Vektorräumen kann man ein Skalarprodukt mittels einer Matrix darstellen. Dazu muss man aber erst einmal ein Skalarprodukt haben. Hat man geprüft, dass die Abbildung ein Skalarprodukt ist, wählt man eine Basis des Vektorraums und bezüglich dieser Basis besteht die Matrix aus den Skalarprodukten der Basisvektoren. Wählt man eine Orthonormalbasis, ist die Matrix die Einheitsmatrix. Das ist auch in dem Link unter Punkt 2.4 beschrieben.

Es bleibt also dabei, zunächst ist zu prüfen, ob die gegeben Abbildung ein Skalarprodukt. Das ist auch die Aufgabenstellung. Wenn es dir Spaß macht, kannst du dir aber anschließend einen Haufen Basen des Vektorraums ausdenken und bezüglich jeder von ihnen die Matrix bestimmen.
aircondition Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte doch mit der gegebenen Abbildungsvorschrift und etwas Fleiß für zwei allgemeine Polynome der Form und die Darstellungsform erzeugen mit und und

Ob dadurch dann ein Skalarprodukt festgelegt ist, könnte man dann doch prüfen oder nicht ?
aircondition Auf diesen Beitrag antworten »

Statt natürlich und damit
 
 
aircondition Auf diesen Beitrag antworten »

de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Allgemeine_Skalarprodukte_im_Rn_und_im_Cn


Symmetrie und positive Definitheit zu zeigen, wäre dann ja nur noch Formsache.
MaWie Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und wie kommst du jetzt über die Abbildungsvorschrift auf die Matrix A. Ich kann alles beweisen, nur fehlt mir immer der Schritt hin zur Abbildungsmatrix, wenn diese aus Polynomen hergeleitet wird.

Wie muss ich da vorgehen. Ein erster Anstoß würde mir hier sicherlich schon reichen!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du wirklich den super aufwendigen Weg gehen möchtest.

Mit ist , und . Analog mit . Damit sucht man eine Matrix , s.d. für alle und gilt
.

Das Gleichungssystem kann man lösen... Wie Huggy schon sagte, funktioniert das nur im endlich-dimensionalen und es ist unfassbar aufwendig.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon mal sagte, ist das Verfahren in dem Link beschrieben. Man wählt eine Basis . Die Skalarprodukte ergeben dann die Matrixeinträge .

Die Matrix von aircondition gehört zu der Basis . Bei seiner Rechnung mit Multiplikation der allgemeinen Polynome ergeben die Koeffizienten der Summanden den Eintrag . Das müsste man noch begründen. Man kann aber auch einzeln ausrechnen.

Dieses Vorgehen ist deutlich rechenintensiver als der direkte Nachweis des Skalarprodukts. Bei Polynomen bis zum Grad 2 ist der Aufwand noch überschaubar. Wenn man dasselbe bei Polynomen bis zum Grad 10 machen wollte, müsste man eine 11x11 Matrix bestimmen und auf positive Definitheit überprüfen. Bei dem direkten Nachweis hat man dagegen bis auf das Hinschreiben unabhängig vom maximalen Grad der Polynome überhaupt keinen Aufwand. Das Skalarprodukt ist dann



Nachzuweisen ist u. a. und das geht so:



So trivial sind auch die anderen Nachweise.
aircondition Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Da es ja nun schon fast komplett da steht, der Rest ist nur noch Termumformungen, wie man sie aus der 7. Klasse kennt.
Somit ergibt sich durch vorausschauendes Anordnen direkt dieser Term :



Anders geschrieben also , wie man bei Bedarf auch leicht via Matrizenmultiplikation nachrechnen kann (oder was meinst du genau mit "begründen" ?)

Zitat:
Bei Polynomen bis zum Grad 2 ist der Aufwand noch überschaubar


Bei mir blieb es bei unter einer halben Seite Aufwand. Das hält sich also noch in Grenzen, würde ich sagen.

Für viele Nicht-Mathestudenten ist dieser Lösungsweg manchmal intuitiver, weil man dabei einfach rumrechnet wie in der Schule.
Eleganter ist es vermutlich über das Abklappern der definierenden Bedingungen (bilinear,symmetrisch,positiv definit) zu gehen, was jedoch den sicheren Umgang mit allgemeinen Notationen einfordert, was vielen Nicht-Mathestudenten schwer fällt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aircondition
(oder was meinst du genau mit "begründen" ?)

Die Matrixeinträge beziehen sich per Definition (ich verweise noch mal auf den Link) immer auf eine Basis des Vektorraums. Diese Basis ist zu benennen. Dann ist zu begründen, weshalb der Eintrag in deiner Matrix aufgrund seiner Berechnung tatsächlich dem Skalarprodukt aus der Basis entspricht.

Zitat:
Zitat:
Bei Polynomen bis zum Grad 2 ist der Aufwand noch überschaubar


Bei mir blieb es bei unter einer halben Seite Aufwand. Das hält sich also noch in Grenzen, würde ich sagen.

Und wie würde es bei einer 11x11 Matrix aussehen?

Zitat:
was jedoch den sicheren Umgang mit allgemeinen Notationen einfordert, was vielen Nicht-Mathestudenten schwer fällt.

Wo siehst du ein Problem mit der Notation? Wenn man den Aufschrieb kurz halten will, muss man nur das Summenzeichen kennen.
aircondition Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Diese Basis ist zu benennen.


Erschließt sich das nicht aus meinem ersten Beitrag aufgrund meiner allgemein gewählten Polynome 2. Grades f(x) und g(x), dass es sich um handelt oder sehe ich das falsch ?

Zitat:
Dann ist zu begründen, weshalb der Eintrag mij in deiner Matrix aufgrund seiner Berechnung tatsächlich dem Skalarprodukt <fi,fj> aus der Basis entspricht.


Passiert dieser Vorgang nicht automatisch, wenn man initial sowieso mit der oben erwähnten Basis B für seine Polynome f und g arbeitet ?
Sicher könnte man auch mit den 9 Bildern der Basisvektoren mittels rechnen aber das führt ja äquivalent (aufgrund ähnlicher Rechnungen) zu denselben Koeffizienten.
Das mit den 9 Bildern ist übrigens ein guter Hinweis von dir, denn man spart sich damit den aufwändigen Teil mit den ganzen Termumformungen und hat die Matrixeinträge direkt bestimmt.


Zitat:
Und wie würde es bei einer 11x11 Matrix aussehen?


Ich persönlich hätte schon ab Polynomen 4. Grades wenig Lust über eine Matrix nachzudenken.
Da muss jeder schauen, wo seine Schmerzgrenze ist.
Ich frage mich aber eher warum der Aufgabensteller dann nicht direkt mit höheren Polynomgraden kommt, um die Studenten dahingehend zu erziehen, sich den üblichen Skalarproduktdefinitionen zu widmen.
Man sieht oft Aufgaben mit Grad 2 oder 3 und da nimmt man etwas Rechnerei vermutlich noch ohne Murren in Kauf.

Zitat:
Wo siehst du ein Problem mit der Notation? Wenn man den Aufschrieb kurz halten will, muss man nur das Summenzeichen kennen.


Mir ist das durchaus bewusst und in einer "perfekten" auf Effizienz getrimmten Welt würde wahrscheinlich jeder so denken.
Der ständige Kontakt zu Schülern und Studenten lässt mich nur allgegenwärtig erkennen, dass das Verstehen und der Umgang mit Formeln jeglicher Art viele vor große Probleme und (mentale) Blockaden stellt.

Wenn etwas mit Zahlen als Beispiel vorgerechnet wird, dann klammern sich viele daran und versuchen andere Aufgabe in diesem Stil damit zu lösen.
Aber wehe da stehen allgemein gültige Formeln, die man erst durchschauen und ggf. auch mal in dieser Allgemeinheit ohne Zahlen nutzen muss.
Diese Denkeweise ist für mathematikaffine Menschen sicher ein Unding.
Leute, die ihre Mathescheine jedoch in Studiengängen wie z.B. BWL,Biologie,Informatik....usw nur irgendwie weghaben wollen (weil sie sich eher für ihr Hauptfach interessieren), sind da oft relativ schmerzfrei Big Laugh
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aircondition
Zitat:
Diese Basis ist zu benennen.


Erschließt sich das nicht aus meinem ersten Beitrag aufgrund meiner allgemein gewählten Polynome 2. Grades f(x) und g(x), dass es sich um handelt oder sehe ich das falsch ?

Mir war das klar. Das bedeutet aber nicht, dass es jedem sofort klar ist.

Zitat:
Zitat:
Dann ist zu begründen, weshalb der Eintrag mij in deiner Matrix aufgrund seiner Berechnung tatsächlich dem Skalarprodukt <fi,fj> aus der Basis entspricht.

Passiert dieser Vorgang nicht automatisch, wenn man initial sowieso mit der oben erwähnten Basis B für seine Polynome f und g arbeitet ?

Wie oben. Auch wenn es einfach ist, so wird es nicht jedem sofort klar sein. In Klausuraufgaben wird üblicherweise eine exakte und vollständige Begründung erwartet, sonst gibt es Punktabzüge. Daher muss man in Übungsaufgaben solche Begründungen üben.
MaWie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die beiden Wege.
Mit dem allgemeinen Nachweis bin ich vertraut und auch der Umgang klappt super.
Letztendlich wusste ich nicht wie ich auf eine Matrix kommen kann.

Hab mich jetzt die letzten Stunden intensiv damit auseinandergesetzt und es mir beigebracht!
Vielen Dank an alle, die mich hierbei unterstützt haben!
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