Exponentialfunktion

31.07.2022, 10:59	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion Repetiere gerade Logarithmen und Exponentialfunktionen. Bei dieser Aufgabe stecke ich irgendwie fest: $\begin{eqnarray} 10^{x}+10^{2x}=600 \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass ich auf beiden Seiten werde logarithmieren müssen, dazu habe ich mehrere Fragen. - Links ist $\begin{eqnarray} ln10^{x} + ln10^{2x} \end{eqnarray}$ soweit ich das verstanden habe, wegen der Logarithmengesetze nicht zulässig, weil das gleichzusetzen wäre mit $\begin{eqnarray} ln10^{x} ln10^{2x} \end{eqnarray}$ ? - Darf ich links aber $\begin{eqnarray} 10^{x} \end{eqnarray}$ ausklammern? Das ergäbe dann $\begin{eqnarray} 10^{x} (1 + 10) = 600 \end{eqnarray*}$ Wenn ich so rechne, komme ich auch zum falschen Resultat. Für Hinweise, die mich auf den richtigen Lösungsweg führen, danke ich bereits im Voraus.
31.07.2022, 11:04	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ausklammern ist falsch. Es ist $\begin{eqnarray} 10^x\cdot 10^1 =10^{x+1}\neq 10^{2x} \end{eqnarray}$ Tipp: Es ist $\begin{eqnarray} 10^{2x}=\left(10^x\right)^2 \end{eqnarray}$ . Nun substituiere $\begin{eqnarray} 10^x=z \end{eqnarray}$ .
31.07.2022, 11:26	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, stimmt, daran lag es also. Vielen Dank! Wenn ich substituiere bekomme ich: $\begin{eqnarray} 10^{x} + 10^{2x}=600<br /> z + z^>{2} = 600 <br /> (z-24)(z+25)=600<br /> z_{1}=24; z_{2}=-25 \end{eqnarray}$ Da das Argument eines Logarithmus nicht negativ sein darf, erübrigt sich $\begin{eqnarray} z_{2} \end{eqnarray}$ als Lösung. Beim Einsetzen ergibt es dann: $\begin{eqnarray} 10^{x}=24<br /> x ln10 = ln24<br /> x=1.38021 \end{eqnarray}$
31.07.2022, 11:29	G310722	Auf diesen Beitrag antworten »
In der 3. Zeile muss rechts 0 stehen!
31.07.2022, 11:31	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Danke.
31.07.2022, 11:34	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest außerdem auch nur ein Gleichheitszeichen dort verwenden, wo Gleichheit besteht. In der letzten Zeile ist das verkehrt. $\begin{eqnarray} x=\frac{\ln 24}{\ln 10}\approx 1.38021 \end{eqnarray}$
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31.07.2022, 11:34	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar hänge ich aber noch immer mit den Exponenten: Wäre jetzt z.B. $\begin{eqnarray} 4^{x} = 2^{x+1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 4^{x}=2^{2x} \end{eqnarray}$ ? Ich vermute ja ersteres. Danke für den Hinweis mit dem Gleichheitszeichen.
31.07.2022, 11:36	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. $\begin{eqnarray} 4^x=\left(2^2\right)^x=2^{2x} \end{eqnarray}$ .
31.07.2022, 11:38	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke.
31.07.2022, 12:18	pulser	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man mal ein paar Gleichungen dieser Art (gleiche Basis und der eine Exponent doppelt so groß wie der andere) durchgerechnet hat und sieht "wie der Hase läuft", dann sind Substitutionen auch nicht mehr zwingend nötig. $\begin{eqnarray} 10^{2x} +10^x -600=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (10^x+25)(10^x-24)=0 \end{eqnarray}$ oder auch mit der pq-Formel: $\begin{eqnarray} 10^x=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+600}=-0.5 \pm 24.5 \end{eqnarray}$

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