Divergenz gegen unendlich

31.07.2022, 15:47

mm96

Divergenz gegen unendlich

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe ist, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^n}{n^k}=\infty \end{eqnarray*}$ für reelles b > 1 und jedes natürliche k gilt.

Kriterien, Wurzeln und so weiter sind an dieser Stelle noch nicht eingeführt.

Meine Ideen:
Man muss für ein festes K ein N finden, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b^N}{N^k} > K \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Idee war, ein N1 zu finden, das den Zähler größer als K macht und ein N2 zu finden, das den Nenner größer als K macht. Dann dachte ich, wenn der Quotient N1/N2 größer als 1 ist, sieht man, dass der Zähler schneller über K kommt als der Zähler, also insgesamt die Folge gegen unendlich wächst.
Ich hatte $\begin{eqnarray*} N_1>\frac{K-1}{b-1} \end{eqnarray*}$ , aber dann habe ich kein geeignetes N2 gefunden, da ja z. B. k-te Wurzeln noch nicht definiert sind.
Das einzige, was ging, war N2>K, dann ist aber N1/N2 nicht immer größer als 1, das hat also nicht funktioniert...

Viele Grüße,
Matze

31.07.2022, 16:20

IfindU

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RE: Divergenz gegen unendlich
Das einfachste ist hier wohl zu definieren $\begin{eqnarray*} h = b - 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^n = (1+h)^n \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man rechts den binomialen Lehrsatz anwenden. Dort taucht (für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß genug) ein Summand der Form $\begin{eqnarray*} n^{k+1} \end{eqnarray*}$ auf. Und $\begin{eqnarray*} \frac { n^{k+1} }{n^k} = n \to \infty \end{eqnarray*}$ ist dann klar.

31.07.2022, 16:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von mm96
Kriterien, Wurzeln und so weiter sind an dieser Stelle noch nicht eingeführt.

Aber den Binomischen Satz kennst du schon, oder?

EDIT: Zu spät. Augenzwinkern

Aber als Idee eine kleine Variation: Entwickelt man $\begin{eqnarray*} b^{n+k} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} b^n \end{eqnarray*}$ , so bekommt man

$\begin{eqnarray*} (1+h)^{n+k} = \sum_{j=0}^{n+k} \binom{n+k}{j} h^j\geq \binom{n+k}{k+1} h^{k+1}\geq \frac{n^{k+1}}{(k+1)!} h^{k+1} \end{eqnarray*}$ ,

und damit direkt die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{b^n}{n^k} = \frac{b^{n+k}}{b^k n^k}\geq C\cdot n \end{eqnarray*}$ mit Konstante $\begin{eqnarray*} C=\frac{h^{k+1}}{b^k(k+1)!} \end{eqnarray*}$ ,

gültig für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

31.07.2022, 20:15

mm96

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Alles klar, jetzt hab ichs kapiert, danke!

Ich hatte den binomischen Lehrsatz zwar schon probiert, aber ich hab nicht gesehen, dass es sinnvoll sein könnte, sich ein einzelnes Glied aus der Summe rauszupicken...

Hab dann ewig versucht, die Summe umzuformen, was mit Teleskopsummen zu machen oder irgendwelche speziellen Folgen da drin zu sehen, aber nix zielführendes gefunden, vielleicht kommt der Blick für so was mit der Zeit...

Danke auf jeden Fall!

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