Bestimmen der Determinante

31.07.2022, 23:04

Samsara

Bestimmen der Determinante

Für alle $\begin{eqnarray*} \lambda\in \mathbb({R}) \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} A_\lambda \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & 0 & \lambda \\ \lambda & \lambda & \lambda^{2}-2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in M_{33}\mathbb({R}) \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie det $\begin{eqnarray*} (A_\lambda) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^{Ad}_\lambda \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} \lambda\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} A_\lambda \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, sowie $\begin{eqnarray*} A^{-1}_\lambda \end{eqnarray*}$ für alle invertierbaren $\begin{eqnarray*} A_\lambda \end{eqnarray*}$

Der erste Teil der ML Wir entwickeln nach der zweiten Spalte und erhalten

det $\begin{eqnarray*} (A_\lambda) \end{eqnarray*}$ = - det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\lambda & \lambda \\ \lambda & \lambda^{2}-2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -\lambda & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=- det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\lambda & \lambda \\ \lambda & \lambda^{2}-2\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
denn det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -\lambda & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

= $\begin{eqnarray*} -(-\lambda(\lambda^{2}-2\lambda)-\lambda^{2}) = \lambda^{3}-\lambda^{2} = \lambda^{2}(\lambda-1) \end{eqnarray*}$ .
Mit der Adjunkten kenne ich mich noch nicht so genau aus.

Ich verstehe bei der ML. z.B. nicht, was damit gemeint ist, wenn es heißt, wir entwickeln nach der zweiten Spalte. Mir ist somit der Ablauf dieser ML. nicht klar. Der zweite Teil mit der Adjunkten sieht ähnlich aus.

Ich habe die Determinante nach Sarru gerechnet und habe $\begin{eqnarray*} \lambda^{2}-(\lambda^{2}-2\lambda)(-\lambda)= \lambda^{2}+\lambda^{2}(\lambda-2) \end{eqnarray*}$ . Das ist fahlsch, wo mein Fehler liegt, auch mit dem speziellen Enwickeln, das weiß ich leider nicht.
I

01.08.2022, 02:51

mYthos

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Deine Rechnung nach Sarrus ist richtig, du musst nur noch das Ergebnis vereinfachen, indem du $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst.
Dann ist es identisch mit jenem aus dem Entwicklungssatz.
-------------
Beim Entwicklungssatz heißt es, man entwickelt nach den Elementen einer Zeile oder Spalte.
Die jeweiligen Unterdeterminanten (Minoren) bezüglich eines Elementes entstehen, indem man jene Zeile UND Spalte streicht, worin das Element steht.
Die übrig bleibenden Elemente bilden dann die entsprechende Unterdeterminante mit einer um 1 niedrigeren Dimension.
Diese bekommt noch ein Vorzeichen, welches sich als Potenz von (-1) mit der Summe der Zeilen- und Spaltennummer ergibt.
Z. B. liefert das Element in der 2. Spalte und der 3. Zeile ein Minus, denn $\begin{eqnarray*} (-1)^5 = -1 \end{eqnarray*}$ . Man bekommt die Vorzeichen schnell, indem man bei der Matrix oben links mit + beginnt und dann alternierend nach rechts oder unten weitergeht.

Hier - bei einer 3-zeiligen Matrix - sind also drei 2-reihige Determinanten mit den o.a. Vorzeichen zu addieren.
Man wählt vorzugsweise jene Spalte oder Zeile für die Entwicklung aus, worin die einfachsten Zahlenwerte und womöglich auch Nullen stehen. Das ist hier die 2. Spalte.
-----------
Hinweis: Für die Invertierbarkeit muss der Wert der Determinante ungleich Null sein.

mY+

01.08.2022, 06:09

Ulrich Ruhnau

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RE: Bestimmen der Determinante

Zitat:

Original von Samsara
Mit der Adjunkten kenne ich mich noch nicht so genau aus.

Aber die Adjunkten wurden von Dir doch richtig bestimmt und es kam das Richtige heraus.
Jedoch würde ich der Übersicht halber noch einen Zwischenschritt einfügen.

$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & 0 & \lambda \\ \lambda & \lambda & \lambda^{2}-2\lambda \end{pmatrix}=-(-\lambda(\lambda^{2}-2\lambda)-\lambda^{2})=-(-\lambda^3+2\lambda^2-\lambda^{2}) = \lambda^{3}-\lambda^{2} = \lambda^{2}(\lambda-1) \end{eqnarray*}$

Bei deiner zweiten Rechnung über die Sarrus-Regel würde ich wie folgt rechnen:

$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & 0 & \lambda \\ \lambda & \lambda & \lambda^{2}-2\lambda \end{pmatrix}=\lambda^2+\lambda^2-\lambda^2+\lambda (\lambda^2-2\lambda)=\lambda^2+\lambda^3-2\lambda^2=\lambda^3-\lambda^2=\lambda^2(\lambda-1) \end{eqnarray*}$

01.08.2022, 11:02

Huggy

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RE: Bestimmen der Determinante

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Aber die Adjunkten wurden von Dir doch richtig bestimmt und es kam das Richtige heraus.

Die Adjunkte wurde von Samsara nicht berechnet. Adjunkte ist hier so

https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

gemeint. Sie ist also selbst bei einer 3x3-Matrix recht aufwendig zu berechnen, weil man 9 Minoren=Unterdeterminanten berechnen muss. Zwei der benötigten Minoren = Unterdeterminanten (die sollte man aber nicht Adjunkten nennen) kamen allerdings schon in der Entwicklung der Determinante nach der 2. Spalte vor. Da wurden sie aber von Samsara nicht berechnet, sondern aus der Musterlösung (ML) abgeschrieben mit dem Vermerk, dass sie das nicht verstanden hat. Das ist nach den Erläuterungen von mYthos jetzt hoffentlich für Samsara klar geworden.

Hat man die Adjunkte, ist die Berechnung der inversen Matrix einfach. Auf diesem Weg soll offenbar hier die inverse Matrix berechnet werden.

02.08.2022, 07:06

Ulrich Ruhnau

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RE: Bestimmen der Determinante
@Huggy
Danke für dir Richtigstellung. Mir war nicht klar, daß Samsara aus der Musterlösung zitiert. Das hätte er/sie mal angeben sollen. geschockt

02.08.2022, 08:57

HAL 9000

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Die anfängliche Berechnung der Matrixdeterminante hätte man sich übrigens einfacher machen können: Durch Addition der ersten zur dritten Spalte (was die Determinante unverändert lässt) bekommt man

$\begin{eqnarray*} \det\left(A_{\lambda}\right) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -\lambda & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda^2-\lambda \end{pmatrix} = \left(\lambda^2-\lambda\right)\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -\lambda & 0\end{pmatrix} = \lambda^2\left(\lambda-1\right) \end{eqnarray*}$ .

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