Partielle Differenzierbarkeit zeigen

01.08.2022, 13:16	tr	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Differenzierbarkeit zeigen Hallo, ich sitze an einer Aufgabe, bei der man begründen soll, dass f im Ursprung partiell differenzierbar ist und $\begin{eqnarray} \nabla f(0,0) \end{eqnarray}$ berechnen. Dabei ist: $\begin{eqnarray} f(x,y)= \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x,y) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray}$ . Ich weiss, dass ich mit der Definition für den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac {f(x_{0}+hv) - f(x_{0})}{h} \end{eqnarray}$ arbeiten muss, aber wie genau gehe ich da vor? Muss ich das dann in Richtung x und y jeweils einzeln zeigen? Und setze ich dann für die Richtung x y auch auf null oder lasse es fest als y? Ich habe nämlich auch schon die Version gesehen, beide Richtungen gleichzeitig zu überprüfen und dann $\begin{eqnarray} f(x_{0}+h_{1}v_{1}, y_{0}+h_{2}v_{2}) \end{eqnarray}$ im Zähler stehen zu haben. Funktioniert das auch? Danke für alle Tipps!
01.08.2022, 14:21	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Differenzierbarkeit zeigen Eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ partiell differenzierbar, wenn die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y_0) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und die Funktion $\begin{eqnarray} f(x_0,y) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Damit ist eindeutig, wie vorzugehen ist.

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