Funktional

01.08.2022, 16:00

Visksu

Funktional

Meine Frage:
Hallo ich muss einen kandidaten für ein exremum enes funktional finden indem ich die erste varioation = 0 setze.
Normalrweise würde ich die euler Lagrange gleichung nutzen aber in dem funktional is nur ein u'(x) [y'(x)] gegeben. kann ich euler lagrange trozdem nutzen?

Meine Ideen:
meinene ansatzt habe ich als bild datei hochgeladen.

01.08.2022, 17:04

IfindU

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RE: Funktional
Bei deiner zweiten Seite drehst du dich im Kreis. Du integrierst erneut partiell und kommst auf das vorige Ergebnis.

Bessere wäre es für alle $\begin{eqnarray*} v \in C^\infty_c \end{eqnarray*}$ umzuformen zu $\begin{eqnarray*} \int_0^1 u''(x) v(x) dx= 0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} u''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

01.08.2022, 17:25

Huggy

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RE: Funktional

Zitat:

Original von Visksu
Normalrweise würde ich die euler Lagrange gleichung nutzen aber in dem funktional is nur ein u'(x) [y'(x)] gegeben. kann ich euler lagrange trozdem nutzen?

Natürlich kann man das. Aber mit IfindUs Hilfe bist du ja auch so auf das richtige Ergebnis gekommen.

01.08.2022, 21:28

Visksu

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RE: Funktional
vielen dank für die antworten

könntet ihr mir verraten wie ich das funktional auf konvexität prüfe und wie ich sagen kann ob es ein min oder max ist ?

02.08.2022, 10:48

IfindU

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RE: Funktional
Was hast du denn für eine Funktion als Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung raus?

Ansonsten folgt die Konvexität aus der punktweisen Konvexität im Integraten, d.h. Konvexität von $\begin{eqnarray*} t \mapsto t^2 \end{eqnarray*}$ .

02.08.2022, 11:15

Visksu

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RE: Funktional
also ich habe aus der euler lagrange gleichung das gleiche raus wie du es kommentiert hast u''(x).
Ich kenne es halt so das man wenn man u'(x) und u(x) hat man dann daraus x und y macht und die hesse matrix bestimmt und wenn diese dann positiv definit ist dann ist F konvex.
aber hier hätte ich ja nur u'(x)

02.08.2022, 12:52

IfindU

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RE: Funktional

Zitat:

Original von Visksu
also ich habe aus der euler lagrange gleichung das gleiche raus wie du es kommentiert hast u''(x).

Die Gleichung ist $\begin{eqnarray*} u''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Und das hat zusammen mit den Anfangswerten eine eindeutige Lösung (Tipp: Zweimal integrieren um $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ zu bekommen)

Zitat:

Original von Visksu
Ich kenne es halt so das man wenn man u'(x) und u(x) hat man dann daraus x und y macht und die hesse matrix bestimmt und wenn diese dann positiv definit ist dann ist F konvex.
aber hier hätte ich ja nur u'(x)

Dann schreib ruhig $\begin{eqnarray*} F[u] = \int_0^1 | 0\cdot u(x) + u'(x)|^2 \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ , wenn es dir hilft.

02.08.2022, 13:34

Visksu

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RE: Funktional
Vielen dank.
1. dachte ich wenn man die euler lagrange gleichung nutzt das dann die funktion ist die ein extrema angibt.
aber wenn ich jetzt u''(x) = 0 2-mal integriere hätte ich raus das u(x)= 0* x ist.

2. ijetzt konnte ich auch die konvexität nachweisen danke

02.08.2022, 14:18

IfindU

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RE: Funktional

Zitat:

Original von Visksu
Vielen dank.
1. dachte ich wenn man die euler lagrange gleichung nutzt das dann die funktion ist die ein extrema angibt.
aber wenn ich jetzt u''(x) = 0 2-mal integriere hätte ich raus das u(x)= 0* x ist.

Genauer bekommst du erst einmal $\begin{eqnarray*} u(x) = ax + b \end{eqnarray*}$ für irgendwelche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . Aus den Anfangswerten folgt tatsächlich dann $\begin{eqnarray*} a = b = 0 \end{eqnarray*}$ . Und damit $\begin{eqnarray*} u'=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} F[u] = 0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} F \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist es somit auch das globale Minimum.

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