Russellsche Antinomie |
| 02.08.2022, 16:11 | Ceren F | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Russellsche Antinomie Darf eine Menge sich selbst als Mengenelement enthalten? Ich muss mich mit der Russel-Antinomie auseinandersetzen: M sei die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Das Paradoxon habe ich verstanden. Aber: Ist es axiomatisch überhaupt zulässig dass eine Menge sich selbst als Element hat? Meine Gedanken: Z sei einem Menge, die sich selbst nicht enthält: Z={3,5,8} U sei eine Menge, die sich selbst enthält: U = {a,b,U} Aber ist das axiomatisch zulässig? Wenn nein, heißt das Axiom: Es ist unzulässig dass eine Menge sich selbst enthält. Mona Mona |
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| 02.08.2022, 17:22 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Russellsche Antinomie
https://www.mathe-online.at/mathint/meng...llermengen.html https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie |
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| 02.08.2022, 19:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In ZFC folgt aus dem Fundierungsaxiom, dass sich keine Menge selbst enthält. |
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| 03.08.2022, 11:58 | Ceren F | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zitat AnfangIn ZFC folgt aus dem Fundierungsaxiom, dass sich keine Menge selbst enthält.Zitat Ende Danke. Exakt das wollte ich wissen. Es macht ja auch keinen Sinn für mich. Wenn M1 = {3,7} Dann ist M2 = {4,6,{3,7}} eine andere Menge weil es ja noch zusätzliche Mengenelemente gibt. Somit gibt es dann ja auch keine Menge aller Mengen. Ich habe zuvor etwas im Netz gestöbert, habe aber zunächst auf die explizit gestellte Frage ''Darf eine Menge sich selbst als Mengenelement enthalten'' keine eindeutige Antwort gefunden. Und alle Axiome der axiomatischen Mengenlehre zu verarbeiten: Dazu fehlt mir als Laie die Zeit und das Verständnis. Mona Mona |
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| 04.08.2022, 02:52 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Russell-Paradoxon ist fundamentaler, es tritt schon auf rein logischer Ebene auf. Der Punkt ist, dass es inkonsistent ist, unbeschränkte Komprehension zu haben. Tatsächlich gibt es auch nicht-wohlfundierte Mengentheorien. Auch hier geht das Russellsche Paradoxon nicht durch. In der Praxis möchte man oft die Sammlung aller Mengen/Gruppen/topologischen Räume... reifizieren. Das Zauberwort heißt Grothendieck-Universen. Im wesentlichen führt man eine Hierarchie von kleinen Mengen, großen Mengen, noch größeren Mengen,... ein. Die Menge aller kleinen Mengen ist eine große Menge, die Menge aller großen Mengen ist eine noch größere Menge usw. Das wird in der Alltags-Mathematik wie der algebraischen Topologie oder Geometrie vielleicht nicht immer so explizit gesagt, aber es ist dort nicht unüblich mit der "Menge aller Mengen" umzugehen. Genauer müsste man von der "großen Menge aller kleinen Mengen" sprechen und diese ist eben nicht selbst klein. Kurzum, stellt die "Menge aller Mengen" in ZF(C)+Grothendieck-Universen kein Problem dar. Auch mit Gödel kriegt man keine Probleme, da man "lediglich" Modelle für ZF(C) postuliert (deren Existenz ZF(C) abermals wegen Gödel nicht beweisen kann). |
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