X-Y gaussverteilt => X und Y gaussverteilt

03.08.2022, 21:53

DieMaus

X-Y gaussverteilt => X und Y gaussverteilt

Meine Frage:
Seien X,Y iid ZVen. Sei weiterhin X-Y gaussverteilt mit E[X-Y]=0 und E[X]=E[Y]=z. Folgt daraus X und Y gaussverteilt?

Meine Ideen:
Keine Ideen

03.08.2022, 23:41

Ulrich Ruhnau

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RE: X-Y gaussverteilt => X und Y gaussverteilt

Zitat:

Original von DieMaus
Sei weiterhin X-Y gaussverteilt mit E[X-Y]=0 und E[X]=E[Y]=z. Folgt daraus X und Y gaussverteilt?

Wenn die Größe $\begin{eqnarray*} Z=X-Y \end{eqnarray*}$ gaußverteilt ist, dann kann die dazu senkrechte Größe $\begin{eqnarray*} W=X+Y \end{eqnarray*}$ ganz anders verteilt sein. Dann folgt daraus daß auch die Größen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ anders verteilt sein können.

03.08.2022, 23:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Wenn die Größe $\begin{eqnarray*} Z=X-Y \end{eqnarray*}$ gaußverteilt ist, dann kann die dazu senkrechte Größe $\begin{eqnarray*} W=X+Y \end{eqnarray*}$ ganz anders verteilt sein.

Eine wirkliche Begründung dafür fehlt aber - oder kannst du ein konkretes Beispiel nennen? (Beachte, dass $\begin{eqnarray*} Z,W \end{eqnarray*}$ abhängig sind.) verwirrt

==========================================================

Anderer Zugang: Für $\begin{eqnarray*} X-Y\sim\mathcal{N}\left(0,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ bekommt man die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi_{X-Y}(t) = e^{it(X-Y)} = e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \varphi_{X-Y}(t) = \varphi_X(t)\cdot \varphi_{-Y}(t) = \varphi_X(t)\cdot \varphi_Y(-t) \end{eqnarray*}$ . Der identischen Verteilung wegen folgt außerdem $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}} = \varphi_X(t)\cdot \varphi_X(-t) = \varphi_X(t)\cdot \overline{\varphi_X(t)} = \left| \varphi_X(t) \right|^2 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray*} \left| \varphi_X(t) \right| = e^{-\frac{\sigma^2t^2}{4}} \end{eqnarray*}$ . (*)

Tja, und das ist aber nicht nur für normalverteilte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erfüllt: Betrachten wir beispielsweise die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi_X(t) = e^{itz-\frac{\sigma^2t^2}{4}+ iat^3} \end{eqnarray*}$ mit irgendeinem reellen Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann erfüllt die (*). Wir bekommen da zwar für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ die Normalverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}\left(z,\frac{\sigma^2}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , aber für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ was ganz anderes: Nämlich eine Zufallsgröße mit der Dichte

$\begin{eqnarray*} f_X(t) &=& \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \varphi_X(t) ~ \dd t = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{it(z-x)-\frac{\sigma^2t^2}{4}+ iat^3} ~ \dd t\\ &=& \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\infty} \cos\left( t(z-x)+ at^3\right) \cdot e^{-\frac{\sigma^2t^2}{4}} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

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