Konsistenzordnung mit Butchertableau

04.08.2022, 15:04

Visksu

Konsistenzordnung mit Butchertableau

Meine Frage:
ich soll die konsistenzordnung herausfinden. (siehe aufgaben stellung b)
ich weiß nicht genau wie ich das machen soll außer das es mit der taylorreihe gelößt wird.

Meine Ideen:
ich habe jetzt in der lösung geschaut um zu verstehen wie ich es mache aber weiß ich nicht wie man darauf kommt zum beispiel (alpha+1/4) und woher kommt das y_h?

13.08.2022, 12:40

butch

Auf diesen Beitrag antworten »

Grundlegend geht es in der Aufgabe ja darum, dass man die Lösung eines gegebenen AWP einer DGL durch ein numerisches Verfahren näherungsweise bestimmen kann.
Wenn man sich nun für die Konsistenz Gedanken darüber macht, wie groß der Fehler dabei sein wird, liegt es nahe, für beide Fälle (exakte Lösung vs. approximierendes Einschrittverfahren) jeweils mal eine entsprechende (abgeschätzte) Taylorreihe zu betrachten und diese beiden dann miteinander zu vergleichen.

In deiner Musterlösung wurde zunächst eine an das numerische Verfahren angepasste Taylorreihe bestimmt, bei der man mit Hilfe der gegebenen Gleichung bzw. Verfahrensvorschrift die entsprechenden Summanden der Reihe in Form von Funktionswerten und 1. Ableitungen benötigt.
Dabei kommt z.B. auch die Kettenregel zum Einsatz.
Welche Schritte du da nicht verstehst, müsstest du nochmal genau benennen.

Zitat:

wie man darauf kommt zum beispiel (alpha+1/4)

Für h ----> 0 gilt $\begin{eqnarray*} \Psi(t,y,0)=\alpha \cdot f(t,y)+\frac{1}{4} \cdot f(t,y)=(\alpha+\frac{1}{4}) \cdot f(t,y) \end{eqnarray*}$

Nach h abgeleitet entsteht durch die Kettenregel $\begin{eqnarray*} \Psi'(t,y,0)=\frac{1}{4} \cdot (\beta \cdot f_t(t,y) \cdot t' + \gamma \cdot f(t,y) \cdot y'=\frac{1}{4} \cdot (\beta \cdot f_t(t,y) \cdot 1 + \gamma \cdot f(t,y) \cdot f_y(t,y)) \end{eqnarray*}$

Die Differenzbildung der beiden Reihen ist gar nicht zwingend erforderlich, man hätte äquivalent auch einfach per Koeffizientenvergleich auf die Werte für $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \ \text{und} \ \gamma \end{eqnarray*}$ kommen können :

$\begin{eqnarray*} \alpha+\frac{1}{4}=1 \iff \alpha=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{h^2}{2} \cdot (f_t(t,y)+f(t,y) \cdot f_y(t,y))=\frac{h^2}{4} \cdot (2f_t(t,y)+2f(t,y) \cdot f_y(t,y)) \end{eqnarray*}$ woraus sofort $\begin{eqnarray*} \beta=\gamma=2 \end{eqnarray*}$ folgt.

Zitat:

woher kommt das y_h

Das ist nur eine Schreibweise für die numerische Approximationslösung, um die beiden Reihen nicht gleich zu benennen.
Man hätte z.B. auch sowas wie $\begin{eqnarray*} y_a \end{eqnarray*}$ wegen approximieren oder $\begin{eqnarray*} y_N \end{eqnarray*}$ für numerisch nehmen können.

Neue Frage »

Antworten »

Konsistenzordnung mit Butchertableau

Verwandte Themen