Differentialgleichung

04.08.2022, 19:05

hoffnungsloserfall22

Differentialgleichung

Meine Frage:
Hallo,
ich verzweifle gerade vollkommen? Gesucht ist eine auf ganz R definierte Lösung der DGL x verwirrt

t) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert x(0)=0.
Ebenso eine Lösung der DGL mit AWP x(0)=-1 und der Frage, ob sie eindeutig ist.
Ich tue mich schon schwer mit dem finden einer globalen Lösung. Trennung der Variablen liefert x(t)= sin(t), aber der Sinus hat ja negative Ableitungen und die DGL sagt mir ja, dass die Ableitung immer nichtnegativ ist. Könnte mir das bitte jemand mathematisch sauber erläutern? Vielen Dank!!!

Meine Ideen:
Siehe oben.

04.08.2022, 19:29

IfindU

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RE: Eigentlich simple DGL?!
Du musst bei der Integration sauber vorgehen. Ich nehme an du hast benutzt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1 -\sin^2(x)} = \cos(x) \end{eqnarray*}$ gilt o.ä.; das gilt im allgemeinen nicht!

Korrekt ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1 -\sin^2(x)} = |\cos(x)| \end{eqnarray*}$ . Der Betrag macht die rechte Seite immer nicht-negativ, was dazu führen wird, dass die Stammfunktion über solche Terme dann monoton wächst (und damit nicht-negative Ableitung besitzt).

04.08.2022, 19:41

hoffnungsloserfall22

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RE: Eigentlich simple DGL?!
Vielen Dank. Ich habe benutzt, dass eine Stammfunktion von 1/sqrt(1-x^2) gleich arcsin(x) ist. Aber wäre dann |cos(x)| überhaupt eine Lösung? Diese ist doch gar nicht differenzierbar…

04.08.2022, 19:48

IfindU

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RE: Eigentlich simple DGL?!
Mein Punkt taucht bei der Herleitung der Stammfunktion auf. Leite es sauber her, dann siehst du es vermutlich.

04.08.2022, 20:06

hoffnungsloserfall22

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RE: Eigentlich simple DGL?!
Hallo,
ich komme auf Integral cos(u)/|cos(u)| , wobei ich mit x=sin(u) substituiert habe. Wie kann ich das Integral lösen? Außerdem hast du mir meine Frage nicht beantwortet, dass |cos(x)| nicht diffbar ist smile

. Vielen Dank ! Ich bin nicht so gut in Mathe. Was wäre denn eine Lösung der DGL auf ganz R?

04.08.2022, 20:34

IfindU

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RE: Eigentlich simple DGL?!
Du hast Recht, $\begin{eqnarray*} x\mapsto |\cos(x)| \end{eqnarray*}$ ist nicht differenzierbar, aber das sollte auch nicht die Lösung sein, sondern Denkanstoß.

Ich habe es noch einmal durchgerechnet und es nicht der Betrag der die Ursache des Problems ist. Entschuldige die Verwirrung! Das Problem ist, dass man an die Grenzen der Intervierbarkeit des Sinus kommt. Die Lösung ist eine Zusammensetzung von Lösungen.

D.h. du hast den Fall $\begin{eqnarray*} -1 < x(t) < 1 \end{eqnarray*}$ korrekt gelöst, d.h. für $\begin{eqnarray*} t \in \left ( -\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right) \end{eqnarray*}$ . Deine Lösung versagt aber an den Grenzen, bzw. kann darüberhinaus nicht fortgesetzt werden. Bei $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ darf die Funktion nicht weiterwachsen, weil sonst die Ableitung nicht länger definiert wäre. Sie darf aber auch nicht fallen, wie du ja schon ganz zu Anfang bemerkt hast. Es gibt eine Lösung der Differentialgleichung, welche weder wächst noch schrumpft.

Die Gesamtlösung kann man dann schreiben als
$\begin{eqnarray*} x(t) = \begin{cases} \ldots & \text{wenn } t \geq \frac \pi 2 \\ \sin(t) & \text{wenn } t \in \left ( -\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right) \\ \ldots &\text{sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

04.08.2022, 20:35

HAL 9000

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Bei der Konstruktion einer Lösung, die auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert ist, solltest du über folgende Punkte bzw. Fragen nachdenken:

1) Die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{x'}{\sqrt{1-x^2}} = 1 \end{eqnarray*}$ und anschließende Integration (d.h. Methode "Trennung der Variablen") ist nur zulässig in Intervallen, wo $\begin{eqnarray*} -1<x(t)<1 \end{eqnarray*}$ gilt!!!

2) Ist $\begin{eqnarray*} x(t_0)=1 \end{eqnarray*}$ , was kann man daraus für $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t>t_0 \end{eqnarray*}$ folgern?

3) Ist $\begin{eqnarray*} x(t_0)=-1 \end{eqnarray*}$ , was kann man daraus für $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t<t_0 \end{eqnarray*}$ folgern?

EDIT: Upps, eine Minute zu spät. Aber doppelt genäht hält besser. Augenzwinkern

04.08.2022, 20:44

IfindU

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@HAL Auch gut zu wissen, dass du da bist, weil ich mich echt erst verrannt habe Big Laugh

04.08.2022, 21:51

hoffnungsloserfall22

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Vielen Dank euch! Jetzt habe ich es geblickt. Also wir stückeln unsere Lösung folgendermaßen zusammen:
für t <= -pi/2 sei x(t)=-1
für -pi/2 < t < pi/2 sei x(t) = sin(t)
für x >= pi/2 sei x(t) = 1.

Damit ist die DGL und das AWP x(0)=0 global gelöst.

Bleibt noch das AWP x(0)=-1.
Definiere für t<=0 : x(t)=-1
für 0<t< pi sei x(t)= sin(x-pi/2)
für t>= pi/2 sei x(t)=1

Bleibt noch die Frage der Eindeutigkeit mit dem zweiten AWP: Verwende den globalen Picard-Lindelöf: Anwendbar , da unsere Funktion global Lipschitzstetig ist mit LS-Konstante 1 und stetig natürlich. Also ist die Lösung des AWP eindeutig.

Passt das so?

04.08.2022, 21:58

hoffnungsloserfall22

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Ah halt, STOPP!
Ich habe die falsche Funktion auf Lipschitzstetigkeit untersucht. Ich muss natürlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ auf LS-Stetigkeit untersuchen und die Wurzel ist bekannterweise nicht Lipschitzstetig. Ich Dummerchen, es ist schon spät am Abend.
Eine weitere Lösung des 2. AWP wäre die Konstante Lösung x=-1.
Jetzt passt es aber hoffentlich.

04.08.2022, 22:55

IfindU

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Genau

Tatsächlich kannst du zu jedem Zeitpunkt anfangen von der -1 in die Sinuskurve umlenken.

05.08.2022, 00:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von hoffnungsloserfall22
Gesucht ist eine auf ganz R definierte Lösung der DGL x verwirrt

Die Definition Deiner DGL ist schief gelaufen. Meintest Du vielleicht
$\begin{eqnarray*} x'(t) = \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ oder eher $\begin{eqnarray*} x'(t) = \sqrt{1-t^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

05.08.2022, 06:59

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} x'(t) = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ gemeint.

$\begin{eqnarray*} x'(t) = \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$ wäre lediglich eine Integrationsübung. Augenzwinkern

----------------------------------------------

Zusammenfassen kann man die Lösungen dieser DGL so:

Definiert man $\begin{eqnarray*} f_a(x) = \begin{cases} -1 &\mbox{ für }x\leq a-\frac{\pi}{2}\\ \sin(x-a) &\mbox{ für }a-\frac{\pi}{2}\leq x\leq a+\frac{\pi}{2}\\ 1 &\mbox{ für }x\geq a+\frac{\pi}{2}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,
sowie ergänzend $\begin{eqnarray*} f_{-\infty}(x)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f_{\infty}(x)=-1 \end{eqnarray*}$ , so umfasst diese Funktionenklasse $\begin{eqnarray*} \{f_a\}_{a\in\overline{\mathbb{R}}} \end{eqnarray*}$ gerade alle Lösungen der DGL.

Zum AWP $\begin{eqnarray*} x(t_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ ist folgendes zu sagen:

1) Für $\begin{eqnarray*} |x_0|<1 \end{eqnarray*}$ ist die Lösung eindeutig, und zwar $\begin{eqnarray*} x = f_{t_0-\arcsin(x_0)} \end{eqnarray*}$ .
2) Für $\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$ sind alle $\begin{eqnarray*} x=f_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq t_0+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ Lösung.
3) Für $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ sind alle $\begin{eqnarray*} x=f_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\leq t_0-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ Lösung.
4) Für $\begin{eqnarray*} |x_0|>1 \end{eqnarray*}$ existiert keine Lösung.

05.08.2022, 09:55

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

verbessertes Original von hoffnungsloserfall22
Vielen Dank euch! Jetzt habe ich es geblickt. Also wir stückeln unsere Lösung folgendermaßen zusammen:
für t <= -pi/2 sei x(t)=-1
für -pi/2 < t < pi/2 sei x(t) = sin(t)
für t >= pi/2 sei x(t) = 1.

Damit ist die DGL und das AWP x(0)=0 global gelöst.

Um das durch einen parametrischen Plot darzustellen, muß man die Variablen entsprechend transferieren.

$\begin{eqnarray*} x(t)=\begin{cases}-1 && t\le-\frac \pi2\\sin(t) && -\frac\pi2\le t\le\frac\pi2\\1 && \frac\pi2\le t\end{cases}\qquad \begin{array}{c} t \rightarrow x\\ x\rightarrow y\\t\in \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\end{array}\qquad y(x)=\begin{cases}-1 && x\le-\frac \pi2\\sin(x) && -\frac\pi2\le x\le\frac\pi2\\1 && \frac\pi2\le x\end{cases} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[parametricplot=-pi:pi,-2:2,-pi/2:pi/2]t-pi,-1,t,sin(t),t+pi,1[/parametricplot]

Zitat:

verbessertes Original von hoffnungsloserfall22
Bleibt noch das AWP x(0)=-1.
Definiere für t<=0 : x(t)=-1
für 0<t< pi sei x(t)= sin(x-pi/2)
für t>= pi sei x(t)=1

Bleibt noch die Frage der Eindeutigkeit mit dem zweiten AWP: Verwende den globalen Picard-Lindelöf: Anwendbar , da unsere Funktion global Lipschitzstetig ist mit LS-Konstante 1 und stetig natürlich. Also ist die Lösung des AWP eindeutig.

Passt das so?

Auch dies will ich durch einen parametrischen Plot darstellen, und muß die Variablen entsprechend transferieren.

$\begin{eqnarray*} x(t)=\begin{cases}-1 && t\le 0\\sin(t-\frac\pi2) && 0<t<\pi \\1 && \pi\le t\end{cases}\qquad \begin{array}{c} t \rightarrow x\\ x\rightarrow y\\t\in \left[0,\pi\right]\end{array}\qquad y(x)=\begin{cases}-1 && x\le 0\\sin(x-\frac\pi2) && 0<x<\pi \\1 && \pi\le x\end{cases} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[parametricplot=-pi:2*pi,-2:2,0:pi]-t,-1,t,sin(t-pi/2),t+pi,1[/parametricplot]

@hoffnungsloserfall22

1. Ich habe zwei Änderungen an Deiner Lösung rot gekennzeichnet.
2. Erst nachdem ich das hier ausgearbeitet habe, ist mir aufgefallen, das HAL noch etwas ergänzt hat.
3. Ich habe immer noch die Vermutung, daß die Anfangswertaufgabe nicht richtig wiedergegeben wurde.

05.08.2022, 10:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
3. Ich habe immer noch die Vermutung, daß die Anfangswertaufgabe nicht richtig wiedergegeben wurde.

Sehe ich nicht so, ist doch alles ziemlich klar formuliert. Laut Aufgabenstellung sind zwei AWP zu diskutieren:

a) $\begin{eqnarray*} x(0)=0 \end{eqnarray*}$ mit eindeutiger Lösung (siehe 1) in meinem letzten Beitrag).

b) $\begin{eqnarray*} x(0)=-1 \end{eqnarray*}$ mit unendlich vielen Lösungen (siehe 2)).

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