l^2 vollständig

04.08.2022, 20:12	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
l^2 vollständig Hallo Leute Es gilt zu prüfen ob der l^2 bezüglich der 2-Norm vollständig ist.Wobei, l^2 als menge der Folgen definiert ist, deren 2 Norm < unendlich ist. Wenn man eine Cauchyfolge bastelt, kommt man recht schnell darauf, dass das Ding für jedes Element in R konvergiert, also insgesamt auch konvergiert. Was mir ein wenig Kopfschmerzen bereitet ist wie ich jetzt zeigen kann, dass diese Folge, gegen die unsere Cauchyfolge konvergiert, auch wieder in l^2 ist. Hättet ihr da Tipps für mich ?
04.08.2022, 21:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: l^2 vollständig Benutze, dass eine Cauchy-Folge $\begin{eqnarray} (x^l)_{l} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \ell^2 \end{eqnarray}$ beschränkt ist und zeige damit, dass dein punktweiser Grenzwert $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^N \\|x_k\\|^ 2 \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Und damit $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \\|x_k\\|^ 2 \end{eqnarray}$ endlich sit.

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