Domain, Codomain und Range

05.08.2022, 15:16

Pippen

Domain, Codomain und Range

Ich will wissen, ob ich das richtig verstanden habe mit domain, codomain and range. Folgendes müsste stimmen, wenn ich es richtig sehe (ein OK reicht völlig, aber wenn man selbst und allein Mathe lernt, ist es manchmal gut, wenn Kenner das absegnen):

Sei f: A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ B.

1. Ist f bijektiv, dann gilt: dom(f) = A, codom(f) = B, rng(f) = B.
2. Ist f injektiv, dann gilt: dom(f) = A, codom(f) = B, rng(f) $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B.
3. Ist f surjektiv, dann gilt: dom(f) = A, codom(f) = B, rng(f) = B.

05.08.2022, 17:54

Elvis

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RE: Domain, Codomain und Range
Wenn dom(f) der Definitionsbereich, codom(f) der Zielbereich und rng(f) der Wertebereich der Funktion f $\begin{eqnarray*} : A \to B \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das richtig.

05.08.2022, 18:28

Pippen

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RE: Domain, Codomain und Range
Ja, genauso. Ich kann also (für mich privat zu besseren Verständlichkeit) „definieren“:

Eine Menge M ist überabzählbar gdw. es keinerlei bijektive Funktion f: M $\begin{eqnarray*} \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, weil trotz dessen alle y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ rng(f) (= $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ) von einem x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ dom(f) (= M) getroffen werden könnten, es immer mind. ein a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ dom(f) gäbe, welches keinen Partner in rng(f) fände?

05.08.2022, 19:44

Elvis

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:M\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ hat zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} y=f(x)\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist genau dann überabzahlbar, wenn es keine injektive Funktion $\begin{eqnarray*} f:M\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt. Eine überabzählbare Menge kann nicht in eine abzählbare Menge eingebettet werden.
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N\to M \end{eqnarray*}$ hat zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} x=g(y)\in M \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist genau dann überabzählbar, wenn es keine surjektive Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N \to M \end{eqnarray*}$ gibt. Eine überabzählbare Menge ist nicht abzählbar.

05.08.2022, 20:03

Pippen

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Das sind die Standarddefinitionen. Ich brauche etwas Erklärenderes. Und meine Definition sollte richtig sein, wenn auch nicht auf den Punkt, dafür aber eben anschaulicher und erklärender.

05.08.2022, 20:47

Elvis

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Nicht anschaulicher und erklärender sondern schlichtweg falsch.

05.08.2022, 20:52

Pippen

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Wo genau ist da ein Fehler?

06.08.2022, 09:19

IfindU

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RE: Domain, Codomain und Range

Zitat:

Original von Pippen
Ja, genauso. Ich kann also (für mich privat zu besseren Verständlichkeit) „definieren“:

Eine Menge M ist überabzählbar gdw. es keinerlei bijektive Funktion f: M $\begin{eqnarray*} \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt [...]

.

Mit der Definition ist $\begin{eqnarray*} M = \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ überabzählbar...

Zitat:

Original von Pippen[..] weil trotz dessen alle y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ rng(f) (= [latx] \mathbb N[/latex]) von einem x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ dom(f) (= M) getroffen werden könnten, es immer mind. ein a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ dom(f) gäbe, welches keinen Partner in rng(f) fände?

Das ist nicht richtig. Jedes $\begin{eqnarray*} x \in dom(f) \end{eqnarray*}$ hat einen Partner in $\begin{eqnarray*} rng(f) \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition einer Funktion. In dem Fall ist das Problem, dass es potentiell nicht ein eindeutiges(!) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt, d.h. die Funktion nicht injektiv ist.

06.08.2022, 21:30

Pippen

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RE: Domain, Codomain und Range
Ach, na klar. Danke IfindU, dass du mich von dem Schlauch geschubst hast, auf dem ich stand. smile

07.08.2022, 01:42

Pippen

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RE: Domain, Codomain und Range
[attach]55725[/attach]

So habe ich es mir notiert, insbesondere am Ende eine Veranschaulichung des „Wesens“ einer überabzählbaren Menge. Findet ihr das einsichtig oder schleicht sich da eine falsche Vorstellung mit ein?

07.08.2022, 13:02

Elvis

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Du must nicht neu definieren, indem du "heiße" sagst, denn die Definition gibt es schon. Und du darfst etwas deutlicher machen, wie die Mächtigkeiten mit den fehlenden Funktionen zusammenhängen.

Eine Menge heißt überabzahlbar*, wenn sie nicht abzählbar ist.
a) $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |\mathbb N|<|M|\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es gibt keine surjektive Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |M|\not \leq|\mathbb N|\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es gibt keine injektve Funktion von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das Bild genügt in beiden Richtungen nicht den Anforderungen.
a) Es gibt keine überabzählbare Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die ein Element mehr enthält als $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Nimmt man zu einer abzählbaren Menge abzählbar viele Element dazu, so ist die Vereinigung wieder abzählbar. Nicht existierende Mengen visualisieren nichts, weil man sie nicht visualisieren kann.
b) Wenn man einem Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ keinen Funktionswert in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ zuordnet, dann hat man nicht eine Funktion, die keine injektive Funktion ist, sondern man hat keine Funktion. Nicht existierende Funktionen visualisieren nichts, weil man sie nicht visualisieren kann.

* Korrektur: "überabzaehlbar", nicht "überabzahlbar". Was hat sich mein Unterbewusstsein dabei gedacht?

08.08.2022, 01:59

Pippen

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Nun ja, mein Bild würde gut passen für die Situation der Nichtsurjektivität von IN -> M. Genauso würde es da nämlich aussehen. Den anderen Fall, die Nichtinjektivität von M -> IN, trifft mein Bild schlechter aber nicht falsch, weil in dieser Situation mein Gamma auf eine natürliche Zahl zeigen müsste, die bereits getroffen wurde, also Nichtinjektivität, oder man lässt es (so wie im Bild), dann ist es gar keine Funktion mehr. So oder so scheitert eine Bijektion und das ist mein Punkt.

Außerdem haben mE überabzählbare Mengen tatsächlich mehr Elemente als IN. Gerade das wird in meinem Bild deutlich: jedes Vorhaben, was versucht, zwischen IN und M Bijektion (= Gleichheit) herzustellen, wird mit einem Element in M enden, was keinen Partner hat.

08.08.2022, 09:00

Elvis

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Einem Berufsignoranten wie mir erschließt sich deine Weisheit nicht unmittelbar. Warum sind 26 deutsche Buchstaben abzählbar und ein griechischer Buchstabe nicht? Übrigens wird die Gleichmächtigkeit von Mengen durch bijektive Abbildungen definiert und nicht die Eigenschaften von Funktionen durch die Gleichheit von Mengen. Man kann Ideen, die um 1900 neu waren nicht besonders gut durch Ideen erklären, die 500 vor Christus nicht erklärt werden konnten. Soviel ich weiß hat noch niemand eine unendliche Menge gezeichnet und erst recht keine überabzaehlbare.

08.08.2022, 16:43

Pippen

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Vielleicht ist auch der Doppelpfeil missverständlich, hab den mittlerweile in Anführungszeichen gesetzt, denn natürlich ist mein Bild genaugenommen falsch, aber mir geht es ohnehin nur darum, ob mein Bild die Intuition der Überabzählbarkeit einfängt, so dass man ein ungefähres Gefühl dafür bekommt, was das ist und wie man es sich vorstellen kann.

08.08.2022, 18:28

Elvis

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Abzählbar unendliche und überabzählbar unendliche Mengen verschiedener Mächtigkeiten kann man sich sehr gut im Geist "vorstellen".
Oliver Deiser hat ein sehr schönes Buch "Einführung in die Mengenlehre" geschrieben. Dirk W. Hoffmann hat in "Grenzen der Mathematik" im Abschnitt "Der Unendlichkeit entgegen" den Versuch unternommen, einige Ordinalzahlen zu visualisieren. Harro Heuser hat in "Unendlichkeiten - Nachrichten aus dem Grand Canyon des Geistes" einige intelligente Worte dazu gesagt. Gute Bücher bringen das Kopfkino zum Laufen.
Bilder haben Grenzen, und wenn du versuchst, unendliche Menge zu zeichnen, kannst du nicht gewinnen - es gibt nicht genug Elementarteilchen im Universum um auch nur eine abzählbar unendliche Menge darzustellen.

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