Vektorraum ja oder nein?

05.08.2022, 16:49	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum ja oder nein? Hallo, Gegeben ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray} U = \{(x_1,x_2,...,x_n)\in \mathbb{R}^n \| x_1^2 - x_2^2 = 0\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ich wollte zeigen, dass dies kein Vektorraum ist. Ich habe mir dazu einmal zwei Vektoren erdacht z.B. $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , beide erfüllen die Bedingung $\begin{eqnarray} x_1^2 - x_2^2 = 0 \end{eqnarray}$ Nach dem ersten Axiom müsste gelten $\begin{eqnarray} v + w \in U \end{eqnarray}$ , also teste ich das mal: $\begin{eqnarray} v+w = \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2\end{pmatrix} \notin U \end{eqnarray}$ Kann man also behaupten, dass es sich um keinen Vektorraum handelt?
05.08.2022, 17:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum ja oder nein? Stimmt Ggf. solltest du die Vektoren etwas "allgemeiner" wählen, da es ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionaler Raum ist.
05.08.2022, 17:10	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum ja oder nein? Danke für die Bestätigung IfindU Edit: Ein allgemeineres Beispiel etwa über dies? $\begin{eqnarray} v+w = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \vdots \\ 2x_n\end{pmatrix} \notin U \end{eqnarray}$
05.08.2022, 17:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum ja oder nein? Genau sowas. Unten müsste dann $\begin{eqnarray} x_n + x_n = 2 x_n \end{eqnarray}$ sein. Einfacher ist es wenn du den Rest alles mit Nullen auffüllst.
05.08.2022, 17:41	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum ja oder nein? Stimme ich zu! Edit: Hab das oben mal verbessert, das ist ja peinlich

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