Bestimmen einer Adjunkten

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05.08.2022, 22:22	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen einer Adjunkten Sei A:= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 5\\ 7 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \in M_{4}\mathbb({R}) \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie det(A) und det $\begin{eqnarray} (\tilde{A}_{2,1}) \end{eqnarray}$ . Mit der Determinante an sich habe ich kein Problem. aber mit dieser Adtjunkten komme ich nicht zurecht. Das was ich bis jetzt darüber weiß, bezieht sich auf eine 2x2 Matrix oder größer. aber hier ist mir auch wegen des $\begin{eqnarray} (\tilde{A}_{2,1}) \end{eqnarray}$ die Sache unklar.
05.08.2022, 22:38	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten das $\begin{eqnarray} A_{2,1} \end{eqnarray}$ sollte wohl die Matrix ohne die erste Zeile und die zweite Spalte sein. Das probiere ich jetzt erst mal aus.
06.08.2022, 08:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten Ich hatte eine ähnliche Vermutung, hätte aber Zeile 2 und Spalte 1 weggelassen. Wenigstens entspricht das der Standardnotation für Matrizen im Allgemeinen ( $\begin{eqnarray} A_{ij} \end{eqnarray}$ meint hier üblicherweise das Element in der $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ ten Zeile und der $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ ten Spalte der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ .)
06.08.2022, 14:39	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten Ich würde das eigentlich genauso sehen. Ein Betreuer der Fernuni hat mir das in diesem Fall so angegeben. Ich habe ihn jetzt danach befragt, und hoffe irgendwann auch eine Antwort zu bekommen. Jetzt habe ich aber doch eine grundsätzliche Frage zum Bestimmen der Adjunkten. Nach welchem Muster werden dazu auf den Zeilen und Spalten die Zahlen gestrichen und welches Zahl nimmt man dann. Das habe ich bei den Erklärungen in den Skripten, die ich habe bis jetzt noch nicht nachvollziehen können.
06.08.2022, 14:57	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten Ich möchte hinzufügen, dass mir das bei 2 x 2 Matrizen eigentlich klar ist. Aber der Übertrage auf größere Matrizen bereitet mir Probleme.
06.08.2022, 16:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 5\\ 7 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \in M_{4}\mathbb({R}) \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} \widetilde A_{2,1}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 5\\ 7 & 1 & 4 \end{pmatrix} \in M_{3}\mathbb({R}) \end{eqnarray}$ . Hier habe ich die erste Zeile rausgenommen und die zweite Spalte. Wenn du es dir die 4x4 auf Papier aufmalst, und die zweite Spalte und erste Zeile komplett durchstreichst, bekommst du eine 3x3 Matrix. (wenn du dir das durchgestrichene wegdenkst).
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06.08.2022, 17:53	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten Wie das funktioniert, war mir schon klar. Was mir aber nicht klar ist, wie ich mit genau welchem Schema die Zeilen und Spalten bei der 3 x 3 Matrix oder einer größeren streiche und dann eine frei Zahl nehme um daraus die Unterdeterminante, bzw. die Adjunkte zu berechnen.
06.08.2022, 18:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{align} A_{ij} \end{align}$ die $\begin{align} (n-1) \end{align}$ -reihige Matrix, die aus der $\begin{align} n \end{align}$ -reihigen Matrix $\begin{align} A \end{align}$ durch Streichen der $\begin{align} i \end{align}$ -ten Spalte und $\begin{align} j \end{align}$ -ten Zeile entsteht. Dann nennt man $\begin{align} B = \operatorname{adj}(A) = \left( b_{ij} \right) \end{align}$ mit $\begin{align} b_{ij} = (-1)^{i+j} \det \left( A_{ij} \right) \end{align}$ die Adjunkte von $\begin{align} A \end{align}$ . Was genau an dieser Definition ist dein Problem?
06.08.2022, 18:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten Um die Adjunkte zu bestimmen, streicht du alles einmal raus. D.h. die Adjunkte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} A_{adj} = \begin{pmatrix} \det(\widetilde A_{1,1}) & -\det(\widetilde A_{2,1}) & \det(\widetilde A_{3,1}) & -\det(\widetilde A_{4,1}) \\ -\det(\widetilde A_{1,2}) & \det(\widetilde A_{2,2}) & -\det(\widetilde A_{3,2}) & \det(\widetilde A_{4,2}) \\ & * & * & \\ & * & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ D.h. um die Adjunkte hier zu berechnen, musst du 16 Determinanten bestimmen, alle entstehen durch Matrizen wo die jeweilige Zeile/Spalte gestrichen wurde. Edit: Für 3x3 hat Wikipedia sogar eine allgemein gezeigt welche Determinanten auszurechnen sind: Wiki
06.08.2022, 18:49	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: bestimmen unter anderem einer Ajunkten Das habe ich mir bereits angesehen und bin daraus nicht schlau geworden. Ich muss dann nach anderen Möglichkeiten suchen.
06.08.2022, 18:51	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist das Muster, nachdem eine 3 x 3 Matrix berechnet wurde nicht klar.
06.08.2022, 18:56	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Das was sein könnte und vermutlich auch ist, das ist fast die selbe Vorgehensweise wie beim Entwicklungssatz. Was ich bei dieser Definition nicht so klar sehe, das sind die Zahlen, die ich dann für die Berechnung der Unterdeterminanten nehmen kann.
06.08.2022, 19:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsst klarer ausdrücken, was du nicht verstehst. Die Adjungierte ist ja das was ich angegeben haben. Für jeden Index muss man die Unterdeterminanten berechnen und dann einfach an die entsprechende Stelle in eine Matrix eintragen.
06.08.2022, 21:18	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass ich die Vorgehensweise jetzt verstanden habe. Ich wurde zumindest bis jetzt bei Wikipedia bestätigt. Sobald ich eine aus meiner Sicht aussagefähige Vorgehensweis auf einer größeren Matrix hier zurechtbasteln kann, kann man das dann bestätigen oder korrigieren. Jetzt suche ich noch nach der Möglichkeit mit der Adjunkten die Inverse eine Matrix zu berechnen.
07.08.2022, 09:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch hier hat Wikipedia einen Abschnitt Wiki. Man teilt die Adjunkte einfach durch die Determinante und schon hat man die Inverse der Matrix.

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