Zufallswürfel richtig simulieren

06.08.2022, 14:59

Ulrich Ruhnau

Zufallswürfel richtig simulieren

Man stelle sich zwei Würfel vor. Der eine ist ein Hexaeder und würfelt von 1 bis 6. Der zweite ist ein Oktaeder und würfelt von 1 bis 8. Nun könnte man beide Würfel so lange werfen, bis einer von beiden eine höhere Zahl hat. Dieser gewinnt. Wenn ich diesen Zufallsprozess für eine Spielsimulation brauche, könnte ich auf die Idee kommen, die Entscheidung durch zwei gleichverteilte Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} X\in[0|6) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\in[0|8) \end{eqnarray*}$ herbeizuführen. Da vergleiche ich beide Fließkommazahlen und nehme die größere.

Die Rätselfrage: Komme ich so auf jeweils die gleichen Gewinnwahrscheinlichkeiten für den 6-er bzw. 8-er Würfel? verwirrt

Antworten bitte mit Begründung! Augenzwinkern

06.08.2022, 16:23

Huggy

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RE: Zufallswürfel richtig simulieren
Man kann ja auch mal leichtere Probleme einstellen, aber das erscheint mir doch zu simpel. Bei den Würfeln kann man die Gewinnwahrscheinlichkeit leicht abzählen. Bei den stetigen Verteilungen hat man eine Gleichverteilung auf einem 6x8-Rechteck und kann die Flächen mit $\begin{eqnarray*} y>x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y<x \end{eqnarray*}$ leicht bestimmen.

Die beiden Methoden ergeben nicht die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit.

06.08.2022, 17:07

Leopold

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06.08.2022, 19:08

Ulrich Ruhnau

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@Huggy
Auf Deine Idee, die Wahrscheinlichkeit mit einer Fläche zu vergleichen, bin ich selber gar nicht gekommen. Clever! Freude

Aber wenn das zu leicht war, dann warte erst mal meine nächste Aufgabe ab!

@Leopold
Ich bin von Deiner Grafik ganz beeindruckt. smile

Was hast Du als Zeichenprogramm verwendet?

06.08.2022, 19:27

Leopold

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Was hast Du als Zeichenprogramm verwendet?

Fast schäme ich mich, es zu sagen, weil es in diesem Board vielleicht als unprofessionell empfunden wird. Aber die Graphik ist mit Word-Zeichenelementen erstellt.

06.08.2022, 22:59

Ulrich Ruhnau

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@Leopold
Kein Grund sich zu schämen. Ich glaube, daß ich auch lernen sollte, mit Word zu zeichnen.

Zeit, das Rätsel zu lüften, sofern es nicht schon gelöst worden ist. Beim diskreten Würfeln ist also die Wahrscheinlichkeit p mit dem 6er-Würfel gegen den 8-Würfel anzukommen, gleich

$\begin{eqnarray*} p=\frac{15}{15+27}=\frac{5}{5+9}=\frac{5}{14} \end{eqnarray*}$ wobei bei der diskreten Verteilung (siehe Wordgrafik von Leopold) 15 blaue Kästchen 27 roten Kästchen gegenüberstehen.

Die Gegenwahrscheinlichkeit mit einem 8er-Würfel einen 6er-Würfel zu besiegen ist demzufolge $\begin{eqnarray*} q=\frac{9}{14} \end{eqnarray*}$ .

Bei der schlechten Simulation mit Fließkommazahlen berechnet sich jedoch die Wahrscheinlichkeit für x > y

$\begin{eqnarray*} p_{x>y}=\frac{\int\limits_{0}^{6} \frac{x}{8} \dd x}{\int\limits_{0}^{6} \dd x} = \frac 1{48}\int\limits_{0}^{6} x \dd x = \frac 1{48}\left[\frac{x^2}2\right]_0^6 = \frac{18}{48}=\frac 38 \end{eqnarray*}$ .

Das ist mit $\begin{eqnarray*} p_{x>y}-p=\frac 38-\frac{5}{14}=\frac{42-40}{14\cdot 8}=\frac 1{56} \end{eqnarray*}$ geringfügig mehr. Deshalb werde ich für meine künftige Simulationsaufgabe mit $\begin{eqnarray*} p=\frac 5{14} \end{eqnarray*}$ arbeiten.

Dank an Huggy und Leopold, daß Ihr mitgemacht habt! Blumen

Bei der nächsten Aufgabe soll ein Fußballspiel simuliert werden, bei dem ein Spieler stärker ist als alle anderen. Darüber muß ich aber noch eine Weile nachdenken, bevor ich sie separat poste.

11.08.2022, 07:19

Ulrich Ruhnau

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Ich habe meine Simulation eines Fußballspiels fertig gestellt und hier meine Frage dazu gepostet. smile

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