Alle Halbgruppenhomomorphismen angeben

08.08.2022, 17:35	_Bastii	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Halbgruppenhomomorphismen angeben Hallo, ich soll alle Halbgruppenhomomorphismen von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ angeben und sagen wie viele das sind. $\begin{eqnarray} H = \{ a, b \} \end{eqnarray}$ In den Teilaufgaben zuvor habe ich bereits Alle inneren Verknüpfungen auf $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ angegeben Geprüft, welche dieser Verknüpfungen mit $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine Halbgruppe bilden Alle Abbildungen von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ angegeben Geprüft welche dieser Abbildungen bijektiv ist Ich weiß, dass ein (Halb-)Gruppenhomomorphismus eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: H_1 \rightarrow H_2 \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} (H_1, \circ_1), (H_2, \circ_2) \end{eqnarray}$ sind Halbgruppen, wenn für alle $\begin{eqnarray} a, b \in H_1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(a \circ_1 b) = f(a) \circ_2 f(b) \end{eqnarray}$ Ich bin mir nicht sicher, was ich konkret tun muss. Muss ich alle Kombinationen von Verknüpfungen, die mit $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine Halbgruppe bilden, prüfen und schauen ob die Bedingung für einen Halbgruppenhomomorphismus erfüllt ist? Wenn ja, wie schreibe ich dann auf, dass es ein Halbgruppenhomomorphismus ist?
08.08.2022, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Halbgruppenhomomorphismus muss nicht bijektiv sein, er muss homomorph sein. Da es jeweils nicht mehr als 4 Abbildungen gibt, sind diese auf die Eigenschaften homomorph zu prüfen. Wie viele Halbgruppen gibt es auf {a,b}, und wie sehen sie aus ? Vermutlich sollst du tatsächlich zu je zwei Halbgruppen alle Homomorphismen suchen. Bitte teile dein Ergebnis mit, das ist ja richtig spannend.
08.08.2022, 20:56	_Bastii	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ein Halbgruppenhomomorphismus nicht bijektiv sein muss, weiß ich. Ich habe die folgenden Halbgruppen und Abbildungen in den vorherigen Teilaufgaben identifiziert. Die Halbgruppen $\begin{eqnarray} (H, \circ_1), (H, \circ_2), (H, \circ_3), (H, \circ_4), (H, \circ_5), (H, \circ_6), (H, \circ_7), (H, \circ_8) \end{eqnarray}$ mit den Verknüpfungen: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_1 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & a & a\\<br /> b & a & a\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_2 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & b & b\\<br /> b & b & b\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_3 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & a & a\\<br /> b & b & b\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_4 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & a & b\\<br /> b & a & b\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_5 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & a & b\\<br /> b & b & a\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_6 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & b & a\\<br /> b & a & b\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_7 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & a & a\\<br /> b & a & b\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c c}<br /> \circ_8 & a & b\\<br /> \hline<br /> a & a & b\\<br /> b & b & b\\<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Und die Abbildungen: $\begin{eqnarray} f_1: a \mapsto a, b \mapsto a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2: a \mapsto b, b \mapsto b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3: a \mapsto a, b \mapsto b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_4: a \mapsto b, b \mapsto a \end{eqnarray}$ Aber was muss ich jetzt wie konkret tun? Die oben beschriebene Definition eines Halbgruppenhomomorphismus für alle Halbgruppen- und Abbildungs-Kombinationen prüfen? Kannst du mir das an einem Beispiel erklären?
08.08.2022, 22:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch schon mal eine schöne Fleißarbeit. Gilt wirklich in jeder dieser Halbgruppen immer das Assoziativgesetz? Jetzt sieht man sofort, daß f1 und f2 triviale Homomorphismen sind, weil links und rechts z. B. bei f1 steht f1(x.y)=a=a.a=f1(x).f1(y), x,y=a oder b. Ebenso für f2. f1 und f2 sind also stets Homomorphismen. Nochmal prüfen (gilt fast immer, aber nicht immer)! Wegen f3(a.a)=f3(a)=a,f3(a).f3(a)=a.a=b ist die Identität kein Homomorphismus von H5 nach H6. Für f3 und f4 darfst du also ein wenig mehr probieren.
09.08.2022, 07:34	_Bastii	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ja. Ich habe für alle 16 Verknüpfungstafeln die folgenden Kombinationen vom Assoziativgesetz durchprobiert $\begin{eqnarray} (a \circ a) \circ a = a \circ (a \circ a)\\<br /> (b \circ b) \circ b = b \circ (b \circ b)\\<br /> (a \circ a) \circ b = a \circ (a \circ b)\\<br /> (a \circ b) \circ a = a \circ (b \circ a)\\<br /> (a \circ b) \circ b = a \circ (b \circ b)\\<br /> (b \circ b) \circ a = b \circ (b \circ a)\\<br /> (b \circ a) \circ b = b \circ (a \circ b)\\<br /> (b \circ a) \circ a = b \circ (a \circ a) \end{eqnarray}$ und übrig geblieben sind dann die 6 Halbgruppen. Deine Argumentation für $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ verstehe ich. Ich suche mir also immer zwei Halbgruppen, z. B. $\begin{eqnarray} (H, \circ_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (H, \circ_5) \end{eqnarray}$ und muss dann tatsächlich alle Kombinationen $\begin{eqnarray} x, y \in \{ a, b \} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x \circ_3 y) = f(x) \circ_5 f(y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_4 \end{eqnarray}$ prüfen? Also z. B. in $\begin{eqnarray} f_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x, y = a \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f_3(a \circ_3 a) = f_3(a) = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3(a) \circ_5 f_3(a) = a \circ_5 a = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(a \circ_3 a) = f(a) \circ_5 f(a) \end{eqnarray}$ Ich frage, weil ich mal in die Lösungen geschaut habe und dort steht, dass es 112 Halbgruppenhomomorphismen geben soll. Deshalb frage ich mich, ob ich wirklich alles durchprobieren muss oder ob es einen schnelleren Weg gibt. Edit: Falls $\begin{eqnarray} f_1, f_2 \end{eqnarray}$ stets Homomorphismen sind. Dann müssten ja alle Kombinationen der 8 Halbgruppen mit der Abbildung $\begin{eqnarray} f_1, f_2 \end{eqnarray}$ Halbgruppenhomomorphismen sein. Also 36 (Kombinationen der Halbgruppen) mal 2 Abbildungen: $\begin{eqnarray} 36 \cdot 2 = 72 \end{eqnarray}$ Halbgruppenhomomorphismen.
09.08.2022, 07:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
f1 und f2 sind von allen HG genau in die HG Homomorphismen, in denen die mittlere Gleichung gilt, die ich angegeben habe. Also f1 außer nach 2 und 6, f2 außer nach 1 und 5. Macht 286=96 Homomorphismen. Bei f3 und f4 scheint es sich zu lohnen, jeweils nach einem Gegenbeispiel zu suchen, das zeigt, daß kein Homomorphismus vorliegt.
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09.08.2022, 08:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenbemerkung: Wenn man 0 statt $\begin{align} a \end{align}$ und 1 statt $\begin{align} b \end{align}$ schreibt und diese Konstanten als Boolesche Werte für falsch und wahr auffaßt, erhält man $\begin{align} x \circ_1 y = 0 \end{align}$ $\begin{align} x \circ_2 y = 1 \end{align}$ $\begin{align} x \circ_3 y = (x \vee y) \wedge x \end{align}$ $\begin{align} x \circ_4 y = (x \vee y) \wedge y \end{align}$ $\begin{align} x \circ_5 y = (x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y) \end{align}$ $\begin{align} x \circ_6 y = (x \vee \neg y) \wedge (\neg x \vee y) \end{align}$ $\begin{align} x \circ_7 y = x \wedge y \end{align}$ $\begin{align} x \circ_8 y = x \vee y \end{align}$ (Diese Beziehungen wurden noch nicht vollständig nachgeprüft.) Keine Ahnung, ob das bei den Rechnungen helfen kann.

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