Polynome q,r aus Z_3[x]

08.08.2022, 18:18

KonverDiv

Polynome q,r aus Z_3[x]

Hallo,

ich möchte gerne $\begin{eqnarray*} q,r \in \mathbb{Z}_3 \left[x\right] \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} x^6 + x^4 + x^2 + 2x = (2x^2 + x + 1)\cdot q + r \end{eqnarray*}$ und der Gerad von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r <2 \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz hierfür ist eine Polynomdivision im $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ in der Form:

$\begin{eqnarray*} x^6 + x^4 + x^2 + 2x \div (2x^2 + x + 1) = 2x^4+2x^3 +2x+1 \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} 2x+2 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir bei der Polynomdivision nicht ganz sicher und vermute einen Fehler, kann irgendwer meine Rechnung widerlegen oder bestätigen?

Meine Probe über $\begin{eqnarray*} (2x^4+2x^3 +2x+1)(2x^2 + x + 1) + 2x+2 = x^6 + x^4 + x^2 + 2x \end{eqnarray*}$ , schien zwar zu passen, entspricht aber nicht der original Lösung...

08.08.2022, 18:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
entspricht aber nicht der original Lösung...

Inwiefern? Man kann natürlich auch andere Repräsentanten als {0,1,2} wählen, etwa {-1,0,1}, aber ansonsten ist die Lösung schon eindeutig.

08.08.2022, 18:36

Elvis

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Ich komme zu demselben Ergebnis.

08.08.2022, 18:57

KonverDiv

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Zitat:

Original von HAL 9000
Inwiefern?

Im Beutelspacher ist die Lösung mit $\begin{eqnarray*} q=2x^4+2x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=2x+1 \end{eqnarray*}$ angegeben...

Danke für die Bestätigung HAL und Elvis Freude

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