Satz v. Gauß, Volumen zwischen Fläche und Ebene

09.08.2022, 16:07	Visksu	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz v. Gauß, Volumen zwischen Fläche und Ebene Meine Frage: Ich soll das Volumen ausrechnen und bin mir nicht sicher wie es geht. Ich habe herausgefunden das es was mit dem oberflächenintergal zu tun hat aber ich weiß nicht wie ich es anwenden soll. Meine Ideen: eine Anleitung oder so wäre cool damit ich weiß wie ich da anfangen soll.
09.08.2022, 17:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
a), b) Die gesuchte Fläche entsteht, wenn man den "rechten Ast" der Parabel $\begin{eqnarray} z=\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{3}{2} \end{eqnarray}$ bis zur Nullstelle $\begin{eqnarray} x_0=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ um die senkrechte z-Achse rotieren lässt. Zur Parameterdarstellung dieser Rotationsfläche führen wir den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein und den Radius r, welcher den Abstand jedes Flächenpunktes zur Drehachse (=z-Achse) bezeichnet (wie bei Zylinderkoordinaten). Damit bekommt man die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec x(r, \phi)=\begin{pmatrix} x(r, \phi) \\ y(r, \phi) \\ z(r, \phi) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\phi) \\ r\cdot \sin(\phi) \\ \tfrac{1}{2}r^2-\tfrac{3}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die allgemeine Formel für die Berechnung gekrümmter Flächen lautet mit den gegebenen Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray} A=\int_{r=0}^{r=\sqrt{3}}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \underbrace{\left \|\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}\right \|}_{\text{Integrand}}\,\,\,d\phi\,dr \end{eqnarray}$ Um darin den Integranden zu bestimmen, berechne also die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r} \end{eqnarray}$ , indem du die obige Parameterdarstellung nach den Parametern $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und r differenzierst. Bilde danach den Betrag des Kreuzproduktes dieser beiden Vektoren und integriere über diesen Betrag ab! c) Der Gaußsche Satz lautet $\begin{eqnarray} \int \int \vec F(\vec x)\,\,d\vec A=\int \int\int div(\vec F)\, dV \end{eqnarray}$ Betrachte gemäß Hinweis das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z\cdot \sin(x^2+y^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z=\tfrac{1}{2}r^2-\tfrac{3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ Offenbar ist $\begin{eqnarray} div(\vec F)=\sin(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ gerade der Integrand des gesuchten Volumenintegrals. Wir müssen also nur das obige Oberflächenintegral über die geschlossene Oberfläche berechnen. Da der Integrand auf der ebenen Kreisfläche verschwindet, muss man nur über den gekrümmten Teil der Fläche integrieren, also nur über das Paraboloid.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »