Mittelwertsatz anwenden

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12.08.2022, 22:13	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz anwenden Meine Frage: Zeigen Sie, dass es mindestens eine reelle Zahl x im Intervall $\begin{eqnarray} [-\pi , \pi] \end{eqnarray}$ gibt, sodass die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3 = \cos(x) \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Meine Ideen: Ich wollte den Mittelwertsatz der Differentialrechnung verwenden. dafür leite ich ab und stelle die Gleichung zu $\begin{eqnarray} 3x^2 + \sin(x) = 0 \end{eqnarray}$ um, jetzt sagt der Mittelwertsatz $\begin{eqnarray} 0 = \frac{3\pi^2 + sin(\pi)-3\pi^2-sin(\pi)}{2\pi} = 0 \end{eqnarray}$ Wir erhalten eine wahre Aussage also gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray} x \in [-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ das die Gleichung erfüllt. Ist das schon korrekt? Oder habe ich es mir zu einfach gemacht
12.08.2022, 22:55	miwesa	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den von dir erwähnten Mittelwertsatz gilt der Zusammenhang $\begin{eqnarray} f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray}$ , der für mindestens ein $\begin{eqnarray} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Ich sehe nicht, dass du das hier sinnvoll genutzt hast. Nimm doch mal für die linke Seite $\begin{eqnarray} f'(x_0)=x_0^3-cos(x_0) \end{eqnarray}$ und bestimme davon ausgehend die rechte Seite der obigen Gleichung (Differenzenquotient).
13.08.2022, 01:16	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz anwenden Ahh stimmt , dann bestimme ich die Stammfunktion und bekomme anstatt $\begin{eqnarray} \frac{3\pi^2 + sin(\pi)-3\pi^2-sin(\pi)}{2\pi} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0^3-cos(x_0)=\frac{\frac{\pi^4}{4} - sin(\pi)-\frac{\pi^4}{4}+sin(-\pi)}{2\pi} = 0 \end{eqnarray}$ heraus, aber wie argumentiere ich damit jetzt weiter?
13.08.2022, 01:21	miwesa	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja die untere Gleichung ist doch dann äquivalent zu $\begin{eqnarray} x_0^3=cos(x_0) \end{eqnarray}$ bzw. x³=cos(x)
13.08.2022, 01:26	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber fehlt jetzt noch ein Schritt, den sehe ich dann nicht, oder kann man jetzt schon sagen "also gibt es nach dem Mittelwertsatz ein x im Intervall welches die Gleichung erfüllt"
13.08.2022, 01:30	miwesa	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat mit $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{4}x^4-sin(x) \end{eqnarray}$ eine Funktion gefunden, die im gegebenen Intervall den Mittelwertsatz erfüllt, wodurch die dazu äquivalente Gleichung mindestens eine Lösung haben muss und genau das war zu zeigen.
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13.08.2022, 01:39	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke dir
13.08.2022, 01:42	miwesa	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ folgt aus dem Zwischenwertsatz (bzw. Bolzanos Nullstellensatz), dass für f(x)=x³-cos(x) an den Rändern des Intervalls $\begin{eqnarray} f(- \pi)<0 \ ~ \text{und} \ ~ f(\pi)>0 \end{eqnarray}$ gilt und damit in $\begin{eqnarray} (-\pi \ ; \ \pi) \end{eqnarray}$ (mindestens) eine Nullstelle existeren muss, wodurch die äquivalente Gleichung x³=cos(x) somit auch mindestens eine Lösung besitzt.
13.08.2022, 19:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehe ich ähnlich: Die Aufgabenstellung wirkt etwas bemüht konstruiert in Blickrichtung MWS, d.h., das mit dem Intervall $\begin{eqnarray} [-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ . Mit ZWS bekommt man stattdessen leicht die genauere Aussage, dass es im engeren Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ diese Gleichungslösung gibt (mit weiteren Argumenten ist auch gesichert, dass das die einzige reelle Lösung ist).

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