Umformung gebrochen rationaler Ausdrücke

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PZ2 Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung gebrochen rationaler Ausdrücke
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hatte vor ca. 20 Jahren mein (abgeschlossenes) Studium begonnen und hatte da auch mal Mathe :-). Leider vergisst man über die Zeit einiges und auch wenn ich meine Mathe-Schulhefte wieder rausgekramt habe, hänge ich derzeit an einer Aufgabe aus meiner ehemaligen "Aufgabensammlung zum Vorbereitungskurs - Mathematik für Studienanfänger" fest, für die ich keinen Ansatz finde. Die Lösung kenne ich, da diese in der Aufgabensammlung steht, aber nicht den Weg dorthin:



Lösung laut Aufgabensammlung ist:



Ich wäre dankbar wenn man mir dafür ggf. ein paar Stichpunkte zum Vorgehen nennen könnte, dann könnte ich mir das Wissen selbst aneignen und ggf. mit diesem Wissen einen Ansatz zur Lösung selbst finden. Ausklammern / Polynomdivision / Erweitern etc. scheint alles nicht zu funktionieren.



Freue mich über Unterstützung.
Gruß
PZ

Meine Ideen:
Der Ausdruck im Nenner ist sehr ähnlich zu einem Binom und der im Zähler sehr ähnlich zu einem Polynom. Muss ich diese beiden Terme in Ihre Linearfaktoren zerlegen und kann hoffen zu kürzen? Ich bin hier schlicht überfragt.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung gebrochen rationaler Ausdrücke
Bevor ich mir über eine Faktorisierung Gedanken mache:
Polynomdivision funktioniert schon. Man wählt z. B. die "führende" Variable , sortiert Zähler und Nenner absteigend nach den Potenzen dieser Variablen und führt die Polynomdivision wie gewohnt durch, wobei wie eine Konstante behandelt wird.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sortiere den Zähler (oben auf dem Bruchstrich) nach Potenzen von y und dividiere schriftlich durch den Nenner (unter dem Bruchstrich). Man nennt das Polynomdivision, und es funktioniert genau so gut wie das schriftliche Dividieren von ganzen Zahlen. Dass das so gut klappt, liegt daran, dass sowohl die ganzen Zahlen als auch Polynome über einem Ring einen Ring bilden (Begriff aus der Algebra, heißt zu deutsch, man kann die Grundrechenarten wie gewohnt ausführen).

Nachtrag: sieh an, klauss hatte dieselbe Idee. Bei Sortierung nach y kommt die Lösung wie bei deiner Musterlösung heraus, bei Sortierung nach x in umgekehrter Reihenfolge. Das macht aber nichts, denn die Addition ist kommutativ (d.h. man darf Summanden vertauschen).
PZ2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Ich habe das offensichtlich nicht gesehen und festgestellt das es mit Polynomdivision tatsächlich funktioniert.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung gebrochen rationaler Ausdrücke
Eine andere Möglichkeit wäre Zerlegung

mit Koeffizientenvergleich für die linke Seite.
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