Nullmenge

13.08.2022, 18:09

Lampe16

Nullmenge

Ich zitiere Joos/Richter Höhere Mathematik, S. 14:

"Es ist deshalb zweckmäßig, auch eine leere Klasse, die Nullmenge, zu definieren.

$\begin{eqnarray*} \varnothing:=\{x|x \text{ ist Menge und ist keine Menge}\} \end{eqnarray*}$ .

Die Nullmenge enthält kein Element, kann selbst aber Element einer Klasse sein."

Kann mir jemand "... ist Menge und ist keine Menge" erklären?

Ich schätze das Lehrbuch hoch, so dass die Aussage wahrscheinlich sinnträchtig ist.

13.08.2022, 18:23

Elvis

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Hat man etwas so einfaches wie die leere Menge, die kein Element enthält, vor 100 Jahren noch so umständlich verschwurbelt definieren müssen ? Es gibt kein x, das WASAUCHIMMER ist und WASAUCHIMMER nicht ist.

Georg Cantor, der Erfinder der "naiven" Mengenlehre war da schon einen Schritt weiter, als er definierte "Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen."

Wenn wir als erfahrene Zen-Buddhisten mal nichts denken und dieses nichts, also kein Objekt, das wir problemlos von allem wohlunterscheiden können, das nicht nichts ist, zu einem Ganzen zusammenfassen, dann haben wir die leere Menge. Eventuell hat man diese leere Menge früher einmal Nullmenge genannt, weil sie Null Elemente enthält. Sie enthält nichts, insbesondere enthält sie nicht Nichts, das existierende Objekt, über das Philosophen früher gerne nachgedacht haben.

Die leere Menge ist eine Menge, sie ist Teilmenge jeder Menge, sie kann auch Element einer anderen Menge sein. Für solche Kleinigkeiten muss man noch keine Klassen auffahren, da macht man sich nur selbst verrückt. Tipp: Keine Angst vor Mengen, wir haben sie so gut im Griff, wie es nur geht.

13.08.2022, 22:30

HAL 9000

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Zudem versteht man unter Nullmenge nach allgemeiner Auffassung was ganz anderes, weswegen auch die Überschrift verfehlt ist:

Die Leere Menge ist immer auch eine Nullmenge - die Umkehrung gilt jedoch in vielen Maßräumen nicht.

P.S.: Das ist auch besonders deshalb anzumerken, da du hier im Subforum Stochastik (für die ich mal die Maßtheorie vereinnahme) gepostet hast.

14.08.2022, 20:19

Lampe16

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Danke Elvis und HAL 9000 für eure Antworten!

Nach meinem jetzigen Erkenntnisstand beschreibt Joos die leere Menge $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ . Hätte er statt

" $\begin{eqnarray*} \varnothing:=\{x|x \end{eqnarray*}$ ist Menge und ist keine Menge}"

$\begin{eqnarray*} \varnothing:=\{x|x \end{eqnarray*}$ ist ein Ei und ist kein Ei}

geschrieben, hätte ich das Beispiel leichter verstanden, wie eine leere Menge zustande kommen könnte.

Noch eine formale Frage zum Schluss: Wo ist im Forum der richtige Ort für Fragen zur Mengenlehre auf Schul- oder auf Hochschulniveau?

14.08.2022, 21:48

Elvis

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Gut, dein Beispiel zeigt, dass du das Konstruktionsprinzip verstanden hast. Allerdings ist das nicht eine leere Menge sondern die leere Menge. Es gibt nur eine leere Menge, weil jede Menge durch ihre Elemente vollständig festgelegt ist.

Zusatzfrage : Kann man eine Menge definieren, deren einziges Element Schrödingers Katze ist? Wenn ja: lebt sie oder ist sie tot? Wenn nein : warum nicht?

Der richtige Ort für Beiträge, die nicht in andere Kategorien passen, ist vermutlich "Sonstiges".

15.08.2022, 05:29

zweiundvierzig

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RE: Nullmenge

Zitat:

Original von Lampe16
$\begin{eqnarray*} \varnothing:=\{x|x \text{ ist Menge und ist keine Menge}\} \end{eqnarray*}$

In ZF(C) ist alles eine Menge.

Die Existenz der leeren Menge folgt aus dem Separationsschema, wobei man das Prädikat $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ instantiiert mit $\begin{eqnarray*} P(x):=\lnot x=x \end{eqnarray*}$ .

Die Eindeutigkeit folgt aus dem Extensionalitätsaxiom (siehe Elvis' vorigen Beitrag).

16.08.2022, 12:08

Lampe16

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RE: Nullmenge
Da ich kurze Erklärungen schätze, wenn sie hinreichen, fasse ich zusammen, was ich aufgenommen habe.

Eine Menge ohne Elemente heißt leere Menge, Symbol $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ .
Beispiele: $\begin{eqnarray*} \{1\} \backslash \{1\}=\varnothing \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \{1\}\cap\{2\}=\varnothing \end{eqnarray*}$ .

Fehlt da noch etwas Wichtiges?

16.08.2022, 17:46

Elvis

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Ja, wenn man einer Menge ihre Elemente wegnimmt, bleibt die leere Menge übrig.
Ja, der Durchschnitt zweier elementfremden (disjunkten) Mengen ist leer. Das gilt auch umgekehrt: wenn der Durchschnitt zweier Mengen leer ist, dann sind die beiden Mengen disjunkt.

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