Bestimmung einer Jordan-Normalform

13.08.2022, 22:30

Samsara

Bestimmung einer Jordan-Normalform

Es ist a) $\begin{eqnarray*} J_{1}({\lambda})=(\lambda),.J_{2}({\lambda})=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J_{3}({\lambda})=\begin{pmatrix}\lambda&1&0\\0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (A`-2I)^{0}=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (A`-2I)^{0}=1 \end{eqnarray*}$
b) Die folgende Matrix ist in Jordan Normalform

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2& & & & & & &\\&2&1& & & & &\\&0&2& & & & &\\& & &2&1&0& &\\& & &0&2&1& & \\& & &0&0&2& &\\& & & & & &0&1\\& & & & & &0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =diag $\begin{eqnarray*} \big(J_{1}({2}), J_{2}({2}), J_{3}({2}), J_{2}({0})\big) \end{eqnarray*}$

die Eigenwerte der JN sind die Zahlen auf der Diagonalen. Eine Matrix mit dieser JN muss das charakteristische Polynom p(x) = $\begin{eqnarray*} x^{2}(x-2)^{6} \end{eqnarray*}$ haben

Um die Größe der einzelnen Jordanblöcke zu einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu bestimmen muss man die Rangpartitionen der Matrix eingeschränkt auf den Hauptraum von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Frage ist, wie sehe ich, oder was muss ich machen um die folgenden Ränge zu sehen bzw. zu bekommen. Mir ist bei einer Matrix, die ich zum Beispiel in Treppennormalform bringe eigentlich klar, wie ich die Ränge sehe. Hier fehlt mir jetzt die Übersicht und oder die genaue Einordnung.
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{0}=1 \end{eqnarray*}$ hat vollen Rang 6
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{1} \end{eqnarray*}$ hat Rang 3
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{2} \end{eqnarray*}$ hat Rang 1
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{3}=0 \end{eqnarray*}$ hat Rang 0.

Was mir auch nicht klar ist. Hat a) etwas mit dieser JN zu tun, und wenn ja, was.

14.08.2022, 10:40

IfindU

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RE: Fragen zur Bestimmung einer Jordan Normalform

Zitat:

Original von Samsara
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{0}=1 \end{eqnarray*}$ hat vollen Rang 6

Das bedeutet die 2 taucht exakt 6 mal auf der Diagonale auf.

Zitat:

Original von Samsara
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{1} \end{eqnarray*}$ hat Rang 3

Das bedeutet es tauchen genau 3 Einsen auf der Nebendiagonale auf.

Zitat:

Original von Samsara
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{2} \end{eqnarray*}$ hat Rang 1

Das heißt es genau einen Block mit Größe $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Samsara
(A`-2I) $\begin{eqnarray*} ^{3}=0 \end{eqnarray*}$ hat Rang 0.

Kein Block ist größer als 3.

D.h. man kann 6 mal die 2 auf die Diagonale schreiben. Die letzten beiden Bedingungen sagen, dass es genau einen $\begin{eqnarray*} J_3 \end{eqnarray*}$ Block gibt. Da es insgesamt 3 Einser geben muss, gibt es also noch genau einen Zweier-Block $\begin{eqnarray*} J_2 \end{eqnarray*}$ und der "Rest" sind reine Diaognaleinträge.

Mir fällt kein Muster außer Brute-Force ein, was immer funktioniert:
Schreibe alle Möglichkeiten für die Jordannormalformen auf, d.h. reine Diagonalmatrix, dann mit einem Einserblock, mit zwei Einserblöcken usw. und rechne dann nach welche Matrix die Rangbedingungen erfüllen.

Ich habe es oben "so" gemacht, wobei ich mir überlegt habe wie die Anzahl und Größe der Jordanblöcke sich auf den Rang auswirken würde.

Zitat:

Original von Samsara
Was mir auch nicht klar ist. Hat a) etwas mit dieser JN zu tun, und wenn ja, was.

Die a) wirkt wie die Definition der Jordanblöcke.

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