Integral mit geeigneter Substitution berechnen

14.08.2022, 22:22

Samsara

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Integral mit geeigneter Substitution berechnen

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} ((x+\alpha)^{2}+\beta^{2})^{-1}\, dx \end{eqnarray*}$ (für positives a und b) (mit $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in \mathbb R, \beta > 0) \end{eqnarray*}$

Die Lösung, mit der ich nicht ganz klar komme, sieht so aus:

Wir setzten f(x) ;= $\begin{eqnarray*} ((x+\alpha)^{2}+\beta^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$ für x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(t):= \beta t - \alpha \end{eqnarray*}$ für t $\begin{eqnarray*} \in J := \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Damit sind die Vorraussetzungen erfüllt, und mit $\begin{eqnarray*} \alpha`:=\frac{a+\alpha}{\beta} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta`:=\frac{a+\alpha}{\beta} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} ((x+\alpha)+\beta^{2})^{-1} \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{\phi(\alpha`)}^{\phi(\beta`)} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{\alpha`}^{\beta`} \! f(\phi(t))\phi`(t) \, dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{\alpha`}^{\beta`}\frac{1}{\beta^{2}t^{2}+\beta^{2}} \beta dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\beta} \int_{\alpha`}^{\beta`} \frac{1}{1+t^{2}}\, dt \end{eqnarray*}$ (wegen $\begin{eqnarray*} \beta > 0 \end{eqnarray*}$ )

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\beta}arctan\big|_{\alpha`}^{\beta`}=\frac{1}{\beta}\bigg(arctan\frac{b+ \alpha}{\beta}-arctan\frac{a+\alpha}{\beta}\bigg) \end{eqnarray*}$ .

Was ich hier trotz mehrmaligem konzentriertem Durchlesen der Definition für Die Substitution nicht richtig nachvollziehen kann, das ist $\begin{eqnarray*} \phi(t):=\beta t - \alpha \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in J:=\mathbb R \end{eqnarray*}$

und wie das $\begin{eqnarray*} \int_{\alpha`}^{\beta`}\frac{1}{\beta^{2}t^{2}+ \beta^{2}}\beta dt \end{eqnarray*}$ zustande kommt. Dann wird ja das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\beta}\int_{\alpha`}^{\beta`}\frac{1}{1+t^{2}} dt \end{eqnarray*}$ , also das $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ rausgezogen, was mir auch nicht ganz klar. Was mir klar ist, das die Stammfunktion von arctan = $\begin{eqnarray*} t^{2} ->\frac{1}{t^{2}+1} \end{eqnarray*}$ ist, die ähnlich zu dem ist was gebraucht wird. Ich bekomme es trotzdem nicht zusammen.Vermutlich, weil diese Stammfunktion ähnlich aber nicht gleich ist.

14.08.2022, 23:13

klauss

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RE: Berechnen SIe mit geeigneter Substitution dieses Integral
Jeder Praktiker würde wahrscheinlich
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{\left(x+\alpha \right)^{2}+\beta^{2} } \, dx =\frac{1}{\beta^{2} } \int_{a}^{b} \! \frac{1}{\left(\frac{x+\alpha }{\beta } \right)^{2}+1} \, dx \end{eqnarray*}$
schreiben und dann
$\begin{eqnarray*} t=\frac{x+\alpha }{\beta } \end{eqnarray*}$
substiituieren.
Umgestellt ist das gleichbedeutend, wie wenn man am Anfang direkt
$\begin{eqnarray*} x=\phi(t)=\beta t- \alpha \end{eqnarray*}$
setzt.

Aus $\begin{eqnarray*} t=\frac{x+\alpha }{\beta } \end{eqnarray*}$ folgen auch durch Einsetzen der alten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Integrationsgrenzen die neuen für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gültigen.

Hilft Dir das schon weiter, den Weg von hinten durch die Brust ins Knie nachzuvollziehen?
Welches Problem hast Du hier sonst noch speziell mit dem Rausziehen von Konstanten oder der Stammfunktion?

15.08.2022, 01:22

Samsara

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RE: Berechnen SIe mit geeigneter Substitution dieses Integral
apropo Praktiker:

die vermutlichst praktischste Handhabung wäre, so glaube ich wenigstens:

$\begin{eqnarray*} ...\int_{a}^{b}\big((x+\alpha)^{2}+\beta^{2}\big)^{-1}dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\beta}\big(arctan\frac{b+\alpha}{\beta} - arctan\frac{a+\alpha}{\beta}\big) \end{eqnarray*}$ .

Falls mit von hinten durch die Brust ins Knie Yoga gemeint ist. Ich bin durchaus entspannt und sogar tatsächlich unter anderem auch durch Yoga. Ich stelle aber fest, dass machnmal auch mit einer guten Entspannung es mitunter doch je nach dem durchaus Wochen dauern kann, bis hier klar gesehen wird. Das möglicherweiße praktischste Vorgehen sowie das Rauziehen der Konstanen ist mir mittlerweile wahrscheinlich klar geworden. Es könnte sein, dass ich zu den anderen Details noch Fragen habe. Wenn ja, dann melde ich mich in den späteren Morgenstunden nochmal.

15.08.2022, 01:33

mYthos

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RE: Berechnen SIe mit geeigneter Substitution dieses Integral

Zitat:

Original von Samsara
apropo Praktiker:
...

Hihi

Big Laugh

(Zur Info, es heisst apropos, nicht apropo)

15.08.2022, 08:30

Samsara

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RE: Berechnen SIe mit geeigneter Substitution dieses Integral
Ums konkreter zu machen. Was hatte meine Frage mit "durch die Brust ins Knie" zu tun. Man kann ja die Frage auch einfach beantworten.

15.08.2022, 08:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Was hatte meine Frage mit "durch die Brust ins Knie" zu tun. Man kann ja die Frage auch einfach beantworten.

Man muss den Humor der Antwortenden nicht teilen - aber man kann ihn auch gelassen ignorieren, statt sich drüber aufzuregen oder dran rumzukritteln.

Da wir beim Kritisieren sind: Das ist schon dein (mindestens) zweiter Thread zu diesem Integral: Integration durch Substitution . Augenzwinkern

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15.08.2022, 09:39

Leopold

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@ Samsara

Es könnte sein, daß du die Redewendung nicht kennst oder falsch interpretierst. Meist heißt es "Von hinten durch die Brust ins Auge". Aber mit dem "Knie" geht das wohl auch.
klauss ordnet damit die beiden Lösungswege ein und bewertet den von der Musterlösung vorgeschlagenen als umständlich. Das ist alles. (Ich selbst würde den Weg nicht als umständlich, aber als vernebelnd bezeichnen. Die eigentliche Idee, wo die Substitution herkommt, wird nämlich vor dem Lesenden verborgen. Es sieht wie Zauberei aus. Und wäre es nicht so, hättest du nicht gefragt.)

15.08.2022, 10:41

Samsara

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Die Redewendung kenne ich tatsächlich nicht. Man könnte ja auch sagen, dass ist viel zu umständlich beschrieben. Die Lösung habe ich extra von dem Skript der Fernuni Hagen so abgeschrieben um Missvertändnissen vorzubeugen. Mit der angegeben Lösung komme ich allerdings nicht klar.

Das $\begin{eqnarray*} \beta t -\alpha \end{eqnarray*}$ muss ja hier $\begin{eqnarray*} \int_{\alpha`}^{\beta`}\frac{1}{\beta^{2}t^{2}+\beta^{2}}\beta dt \end{eqnarray*}$ auftauchen. Mir ist aber icht klar wie ich das genau hier einordnen muss, möglicherweise sind damit die Integralgrenzen gemeint.

Bei der Konstanten rauziehen, müsste das so gehen $\begin{eqnarray*} \int_{\beta`}^{\alpha`}\frac{1}{\beta(t^{2}+1)} \end{eqnarray*}$ . Ursprpnglich steht $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und wird dann gekürzt.

15.08.2022, 10:52

HAL 9000

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Was ich an der obigen Darstellung unglücklich empfinde, ist die Wahl der Symbole für die Integrationsgrenzen nach der Substitutionstransformation:

$\begin{eqnarray*} \alpha',\beta' \end{eqnarray*}$ assoziert von der Symbolwahl her, dass hier $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ transformiert wurden - falsch: Es sind $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , daher wären $\begin{eqnarray*} a',b' \end{eqnarray*}$ die naheliegenderen Bezeichnungen gewesen.

Die Substitutionsregel für bestimmte Integrale ist dann $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\phi(a')}^{\phi(b')} f(x) ~ \dd x = \int\limits_{a'}^{b'} f(\phi(t))\phi'(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

15.08.2022, 11:10

Samsara

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ich werde das dem zuständigen Dozenten weitergeben, denn von ihm oder seinem Vorgänger stammt diese Formulierung. Eine Antwort auf meine Frage ist das allerdings nicht.

15.08.2022, 11:18

HAL 9000

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Was ist denn überhaupt deine Frage: Was willst du hier "einordnen" ? Was genau verstehst du nicht? Nach meinem Empfinden drückst du dich ziemlich nebulös aus.

15.08.2022, 11:24

Leopold

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@ HAL

In der Tat eine unglückliche Bezeichnerwahl. Aber ob das wirklich so aus Hagen kommt? Dort hat man sicher Voraussetzung auch nicht mit rr geschrieben...

@ Samsara

Hier einmal eine übersichtliche Rechnung.

Für die Substitution genügt es, eine formale Rechnung ohne Integralzeichen durchzuführen:

Gegeben ist

$\begin{align*} \left( (x + \alpha)^2 + \beta^2 \right)^{-1} ~ \dd x \end{align*}$ , Grenzen: $\begin{align*} a,b \end{align*}$

Substitution: $\begin{align*} x = \varphi(t) = \beta t - \alpha \end{align*}$

$\begin{align*} x \end{align*}$ durch den $\begin{align*} t \end{align*}$ -Ausdruck ersetzen (substituieren). Zunächst der Integrand:

$\begin{align*} \left( (x + \alpha)^2 + \beta^2 \right)^{-1} = \left( \left( \beta t - \alpha + \alpha \right)^2 + \beta^2 \right)^{-1} = \left( \left( \beta t \right)^2 + \beta^2 \right)^{-1} = \left( \beta^2 t^2 + \beta^2 \right)^{-1} = \beta^{-2} \left( t^2 + 1 \right)^{-1} \end{align*}$

Aber auch im Differential muß $\begin{align*} x \end{align*}$ ersetzt werden:

$\begin{align*} \dd x = \dd \left( \beta t - \alpha \right) = \beta ~ \dd t \end{align*}$

Zum Schluß müssen auch die $\begin{align*} x \end{align*}$ -Grenzen in $\begin{align*} t \end{align*}$ -Grenzen substituiert werden. Nach dem Einwand von HAL verwende ich geeignetere Bezeichner:

Zunächst allgemein: Auflösen von $\begin{align*} x = \varphi(t) \end{align*}$ nach $\begin{align*} t \end{align*}$ ergibt $\begin{align*} t = \frac{1}{\beta} (x + \alpha) \end{align*}$

Aus $\begin{align*} x=a \end{align*}$ wird $\begin{align*} t = a' = \frac{1}{\beta} (a + \alpha) \end{align*}$ .
Aus $\begin{align*} x=b \end{align*}$ wird $\begin{align*} t = b' = \frac{1}{\beta} (b + \alpha) \end{align*}$ .

Alles zusammen:

$\begin{align*} \left( (x + \alpha)^2 + \beta^2 \right)^{-1} ~ \dd x = \beta^{-2} \left( t^2 + 1 \right)^{-1} \cdot \beta ~ \dd t = \beta^{-1} \left( t^2 + 1 \right)^{-1} \end{align*}$

So geht die Aufgabe ganz formal. Das eigentliche Rätsel ist: woher kommt die Substitution? Daß diese nicht vom Himmel fällt, sondern naheliegend ist, zeigt die Rechnung von klauss.

15.08.2022, 15:00

Samsara

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Ich habe jetzt einen Tippfehler bei der offiziellen Lösung von mir gefunden. Es heißt, und mit $\begin{eqnarray*} \alpha`:=\frac{a+\alpha}{\beta} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta`:=\frac{b+\alpha}{\beta} \end{eqnarray*}$

ich habe geschrieben $\begin{eqnarray*} \alpha`:=\frac{a+\alpha}{\beta} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta`:=\frac{a+\alpha}{\beta} \end{eqnarray*}$

Was sonst noch gefelt hat war der Hinweis auf den Satz mit den Substitutionsregeln
Seien I und J Intervalle mit mehr als einem Punkt, sei f : I-->R stetig, und sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ : J-->R differenzierbar mit stetiger Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi` \end{eqnarray*}$ , also stetig differenzierbar.

Ist $\begin{eqnarray*} \phi(J)\subseteq I, \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} \int_{\phi(\alpha)}^{\alpha (\beta)}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi`(t)dt \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in J \end{eqnarray*}$ .

Das erklärte zu meiner Frage ist mir allerdings immer noch nicht klar. Kann sein, dass sich das noch ändert. Das weiß ich jetzt nicht. Es ist auf jeden Fall diese Abfolge $\begin{eqnarray*} ((x+\alpha)^{2}+\beta)^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((\beta t- \alpha+\alpha)^{2}+\beta^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$

15.08.2022, 15:15

HAL 9000

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Leopold und mir macht dein Symbolwirrwarr nichts aus, wir blicken trotzdem noch durch. Aber ob es für dich so gescheit ist, sowohl für die Funktionsparameter als auch die Integralgrenzen mit $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ zu hantieren, sei mal dahingestellt. Vielleicht ist es bereits ein Anzeichen fortschreitender Konfusion, wenn du als obere Integralgrenze $\begin{eqnarray*} \alpha(\beta) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \phi(\beta) \end{eqnarray*}$ schreibst...

Zitat:

Original von Samsara
Das erklärte zu meiner Frage ist mir allerdings immer noch nicht klar. Kann sein, dass sich das noch ändert. Das weiß ich jetzt nicht. Es ist auf jeden Fall diese Abfolge $\begin{eqnarray*} ((x+\alpha)^{2}+\beta)^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ((\beta t- \alpha+\alpha)^{2}+\beta^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$

Ähm, was ist da jetzt noch unklar? Im Zuge der Substitution wurde für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Integrationsterm $\begin{eqnarray*} \left((x+\alpha)^2+\beta^2\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} \phi(t)=\beta t-\alpha \end{eqnarray*}$ eingesetzt - das ist es ja schließlich was zu tun ist, wenn man einen Term $\begin{eqnarray*} f(\phi(t)) \end{eqnarray*}$ zu betrachten hat! Weiter passiert an dieser Stelle nichts! Anschließend folgen dann ein paar algebraischen Umformungen (Vereinfachungen).

15.08.2022, 15:21

Samsara

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Also dieses Symbolwirrwarr sind die Symbole, die von der Fernuni Hagen so anscheinend für richtig angesehen werden. Da kann und will ich nichts dazu sagen. Ich habe an den zuständigen Prof Anmerkeungen von hier weitergeleitet. Seine Antwort wird kommen. Wann kann ich jetzt nicht genau sagen.

15.08.2022, 15:34

Samsara

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Etwas habe ich noch vergessen. Mit Substitutionen komme ich bis jetzt einigermaßen klar. Bei dieser Aufgabe meinte der Prof. zu mir, dass die schon etwas tricki sei, was ja auch stimmt.

17.08.2022, 18:17

Samsara

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Ich habe jetzt eine Antwort von dem zuständigen Prof. bekommen. Er weiss nicht, was an dieser Bezeichnung verwirrend sein soll.

17.08.2022, 21:46

HAL 9000

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Na gegen so eine Autorität kommt man nicht an. Ich bin allerdings sehr verwundert, dass du ihn ausgerechnet das gefragt hast.

17.08.2022, 23:07

Samsara

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Weshalb die Verwunderung. Und weshalb kommt man gegen "Autoritäten" nicht an. Das war ja von hier als falsch bezeichnet worden. Und ich möchte das dann natürlich klären. Abgesehen davon ist es schon vorgekommen, dass Kommilitonen einen Fehler im Skript entedeckt hatten und den auch meldeten und das wird möglicherweise auch in Zukunft vorkommen. Da hat dort keiner was dagegen.

17.08.2022, 23:34

Leopold

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Selbstverständlich darfst du die Funktion $\begin{align*} x \end{align*}$ mit

$\begin{align*} x(f) = \frac{f}{1+ f^2} \, , \ \ f \in \mathbb{R} \end{align*}$

in den Grenzen von $\begin{align*} f=\Delta_3 \end{align*}$ bis $\begin{align*} f=x_2 \end{align*}$ integrieren:

$\begin{align*} \int_{\Delta_3}^{x_2} x(f) ~ \dd f = \int_{\Delta_3}^{x_2} \frac{f}{1+ f^2} ~ \dd f \end{align*}$

Am besten substituierst du $\begin{align*} \tilde{\lambda} = 1 + f^2 \end{align*}$ .

Aber - ganz unter uns - so macht Mathe einfach überhaupt keinen Spaß.

18.08.2022, 06:30

HAL 9000

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Dass man die Integrationsgrenzen nicht mit $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ bezeichnet, wenn genau dieselben Symbole $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ bereits als Funktionsparameter auftauchen ist für mich eine dermaßene Selbstverständlichkeit, dass man den Professor nicht fragt, ob das in Ordnung ist, sondern ihn eher drauf hinweist, dass das nicht in Ordnung ist - das erstere ist unangebrachte Autoritätsgläubigkeit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.08.2022, 09:15

Leopold

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Die Symbolwahl für die neuen Grenzen ist $\begin{align*} \alpha' \end{align*}$ und $\begin{align*} \beta' \end{align*}$ , was formal in Ordnung geht, da diese Bezeichner sonst nirgendwo auftauchen. Die Bezeichnerwahl ist andererseits abwegig, denn der kluge Mathematiker sorgt bei sich und bei anderen, die sich mit seinen Papieren beschäftigen, für gute Lesbarkeit, indem er durch die Wahl der Namen Zusammenhänge aufdeckt und Verwandtschaften der mathematischen Objekte von vorneherein sichtbar macht und nicht detektivischer Detailarbeit überläßt, diese Verwandtschaften zu enthüllen.

Ich könnte mir vorstellen, daß Folgendes passiert ist.
In Integralformeln werden die Grenzen gerne $\begin{align*} a,b \end{align*}$ genannt. Wird nun das Integral transformiert, wird man die neuen Grenzen mit verwandten Bezeichnern benennen. Eine Möglichkeit wäre, die Verwandtschaft durch einen Strich zu kennzeichnen: $\begin{align*} a',b' \end{align*}$ , eine andere, zu den korrespondierenden griechischen Minuskeln überzugehen: $\begin{align*} \alpha, \beta \end{align*}$ . Nun ist hier der zweite Weg verbaut, denn $\begin{align*} \alpha, \beta \end{align*}$ fungieren schon als Parameter der linearen Substitution. Das hat der Schreiber der Musterlösung bemerkt und schnell die Strichlösung angepeilt. Dabei hat er nicht genau aufgepaßt und die Striche nicht bei $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ , sondern bei $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ und $\begin{align*} \beta \end{align*}$ angebracht. So etwas ist überhaupt nicht anstößig und passiert Profimathematikern nahezu täglich. Es ist einfach zutiefst menschlich, daß unser Gehirn etwas verdreht, vertauscht und uns oft die eigenen Fehler nicht erkennen läßt, weil wir lesen, was wir lesen wollen, und nicht, was tatsächlich geschrieben steht. Wird man auf einen solchen Fehler aufmerksam gemacht, ändert man das ohne Murren ab. Es geht um keinen inhaltlichen Fehler.

Weiter könnte ich mir vorstellen, daß dein Professor sich mit deinem Anliegen nicht richtig beschäftigt, sondern das nur grob überflogen hat. Es könnte auch sein, daß du das Anliegen nicht eindringlich, korrekt oder vollständig vorgelegt hast, so daß er gar nicht wußte, was du eigentlich willst. Im übrigen brauchst du deinen Professor nicht noch einmal zu befragen. Die Bezeichnerwahl der Musterlösung ist unpassend. Das sage ich jetzt par ordre du mufti und nehme ungefragt unsern HAL als Autorität gleich mit dazu.

18.08.2022, 09:53

Samsara

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Ich sehe das jetzt nicht so und Autoritätshörig bin ich definitiv nicht. Aber um bei der Sprache zu bleiben, halte ich den Ausdruck "nebulös " und "Wirwarr" für etwas übertrieben. Unüberischtlich würde da eher passen. Aber was daran Autoritätshörig sein soll, wenn ich einem Matheprof. eine Frage stelle, oder -fachliche Kritik - äußere und ich diese Antwort weitergebe, ist mir jetzt nicht klar. Er hätte auch sagen können, es sei Geschmackssache, hat er aber nicht. Und ich traue ihm zunächst so viel Sachverstand zu. Je nach dem überlege ich mir, im kommenden WiSe in der Masstheorie diesen Skript einem Übungsleiter oder auch Prof. zu zeigen, um deren Meinung zu hören. Dann dürfte für mich die Sache auf jeden Fall geklärt sein.

18.08.2022, 10:07

HAL 9000

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Ja, die zum Elefanten angeschwollene Mücke sollte auch wieder auf ihr Ausgangsmaß schrumpfen. Der Prof hat einfach die Übersicht verloren, welche Symbole er schon verbraten hat und daher nicht für andere Zwecke im selben Kontext nehmen sollte.

18.08.2022, 10:35

Samsara

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Ich äußere mich dazu nicht mehr. Alledings halte ich die Sprache hier teilweise für überdenkenswert.

18.08.2022, 12:53

HAL 9000

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Die politisch Überkorrekten wollen jetzt anscheinend auch das Matheboard übernehmen: Jetzt wird man schon angegangen, nur weil man die Redewendung "da macht jemand eine Mücke zum Elefanten" anbringt. Wo sind wir bloß hingeraten... unglücklich

unglücklich

18.08.2022, 15:13

Samsara

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Also mit politischer Überkorrektheit hat das nun überhaupt nichts zu tun. Ein entsprechender Umgang mit der Sprache führt zu einer mehr oder weniger angenehmen Kommunikation. Das kann und darf natürlich jeder halten, wie er möchte.

Trotz allem wünsche ich einen angenehmen Tag.

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