Integral auflösen

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Integral auflösen
Ich habe denselben Titel gewählt wie im von Steffen geschlossenen Thread, damit der User ihn gegebenenfalls schneller findet. Aber eigentlich geht es bei dieser Aufgabe eher um eine Nullstelle als um ein Integral. Das kann man, glaube ich, sagen, ohne Eigentümerrechte oder Matheboardprinzipien zu verraten.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold
Für den Fall, dass Gördi wieder auftaucht, trete ich sofort zurück. Bis dahin nehme ich das Angebot an, bei dieser Aufgabe Hilfe zu erhalten.

Die Funktion lautet also:

Um die Nullstellen dieser Funktion zu finden würde ich mit 30 multiplizieren.



Ich kenne zwar die Lösungen (Kunststück! bei den vielen "Internetrechnern"), aber ich weiß keinen Weg dahin.
Die Ahnung, dass der Funktionsterm ein Produkt zweier oder mehrerer Polynome ist, bringt mich auf die Idee, alle Faktoren und das Absolutglied in Primfaktoren zu zerlegen.



Ab hier grüble ich gegen dicke Bretter.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man quartische Gleichungen löst, steht allgemein in Wiki.

Arndt Brünner erklärt die Lösung dieser Gleichung, wenn Du die Koeffizienten eingibst und auf Lösen mit Erläuterungen drückst.

Viele Grüße
Steffen
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

OK, Danke. Damit bin ich erstmal beschäftigt. Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Gualtiero

Wenn man sich nicht durch das allgemein Formelwerk zur Lösung quartischer Gleichungen kämpfen will, man aber rationale Lösungen vermutet, dann kann man auch folgenden Weg beschreiten:

Zitat:
Besitzt eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sowie Leitkoeffizient 1 eine rationale Lösung, so ist diese sogar ganzzahlig und zudem ein Teiler des Absolutgliedes.

Im vorliegenden Fall gibt es allerdings ganz schön viele Teiler vom Absolutglied , insgesamt (inklusive der zu berücksichtigenden negativen) sind das 96 Stück. Aber man kann ja zunächst die betragsmäßig kleinen durchprobieren , bis man fündig wird. Dann Polynomdivision, und kann anschließend das Spiel für die entstehende kubische Gleichung wiederholen.

Mit geschärftem Blick erkennt man zudem sofort, dass (der alternierenden Koeffizienten wegen) es keine negativen reellen Nullstellen hier gibt: Es ist

für alle ,

das reduziert erfreulicherweise die Anzahl der zu probierenden Argumente. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero

Die Funktion lautet also:

Um die Nullstellen dieser Funktion zu finden würde ich mit 30 multiplizieren.



Ich kenne zwar die Lösungen (Kunststück! bei den vielen "Internetrechnern"), aber ich weiß keinen Weg dahin.


Gleichungen bis zum 4. Grad konnte Cardano lösen (Wikipedia führt uns zu einer Kryptowährung, wenn wir nach Cardano suchen - das ist offenbar kultureller Fortschritt). Heute benutzen wir die Galoistheorie, um die cardanischen Formeln herzuleiten und zu beweisen, dass Gleichungen 5. Grades im allgemeinen nicht durch Wurzeln lösbar sind (weil die A4 eine auflösbare Gruppe ist, die A5 aber nicht). Sehr schön dargestellt von Siegfried Bosch "Algebra", Springer Verlag.
 
 
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

Eine bescheidene Frage:
Ist es in solchen Fällen nicht am einfachsten, die Nullstellen graphisch zu lösen?
Der Graph von f(x) liefert dann 4 Nullstellen: 7, 9, 14, 15 (siehe Abbildung).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero
ch kenne zwar die Lösungen (Kunststück! bei den vielen "Internetrechnern"), aber ich weiß keinen Weg dahin.

Ich denke nicht, dass Gualtiero an das Ablesen des Funktionsgraphen als "Weg" gedacht hat. Augenzwinkern
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte die graphische Lösung von Polynomen nicht geringschätzen, denn mir ist nicht bekannt wie man die Nullstellen höhergradiger Polynomfunktionen (> 4 gradig) sonst bestimmen kann (siehe Abbildung).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich sind die Schüler heutzutage zu verwöhnt und denken gar nicht daran, wieviel im Hintergrund da gewerkelt wird, bevor ein solcher Plot fertig ist: Da sind zahlreiche Funktionswerte zu berechnen... vielleicht sollte man diese Leute mal in einen DeLorean setzen und eine Mathestunde im Jahr 1955 erleben lassen. Big Laugh
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ansonsten war das Newton-Verfahren auch schon im Jahr 1955 bekannt. smile
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000
Merci vielmals - mit Probieren und Polynomdivision hat es geklappt. Davor hatte ich mich verrechnet und fälschlicherweise an dieser Methode gezweifelt.
Bei der Cardano-Methode bin ich noch dran.

Danke für den Buchtipp @Elvis. Ich kann aber den Buchtitel vorerst nur mal auf eine "To-Read"-Liste setzen; und die Liste wächst ständig. Augenzwinkern


Edit:
Zitat:
Original von Phenix
Eine bescheidene Frage:
Ist es in solchen Fällen nicht am einfachsten, die Nullstellen graphisch zu lösen?

Ich suche nicht vorrangig den einfachsten, schnellsten Weg, sondern ich will Zusammenhänge erkennen. Siehe auch Anwort von HAL 9000.
Es ist auch nicht das Ziel dieses Matheforums, Aufgaben zu lösen, sondern Verständnis beizubringen.
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