Wenn sich Kreise schneiden

15.08.2022, 16:09	Phenix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn sich Kreise schneiden Hallo Mathe-Freunde, zwei gleich große Kreise (r = 1 LE) sollen so weit angenähert werden, bis die Kreis-Schnittfläche (S) 50 % der Kreisfläche entspricht. Welchen Abstand haben die Kreismittelpunkte (M1 und M2)? Lösung: die Kreismittelpunkte sind 0,808 LE von einander entfernt. Zur Verdeutlichung der Frage, siehe Abb.1, für den Lösungsweg, siehe Abb.2. Kennt jemand einen anderen Lösungsweg? Gruß Phenix
15.08.2022, 16:23	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wenn sich Kreise schneiden Die Hälfte der Mittelpunktentfernungen ist ja die Höhe h eines Kreissegmentes, für dessen Fläche A gilt $\begin{eqnarray} A = r^2 \cdot \arccos{\left(1-\frac{h}{r}\right)}-(r-h) \cdot \sqrt{2rh-h^2} \end{eqnarray}$ Diese Fläche soll nun ein Viertel der Kreisfläche $\begin{eqnarray} \pi r^2 \end{eqnarray}$ betragen. Mit r=1 sollte sich die entstehende Gleichung zumindest näherungsweise nach h auflösen lassen. Viele Grüße Steffen
15.08.2022, 19:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das äquivalente Problem mit Kugeln und 50% Volumenschnitt fallen die Volumenformeln überraschenderweise wesentlich einfacher strukturiert aus als für das ebene Problem, denn das Kugelsegment besitzt das Volumen $\begin{eqnarray} V = \frac{\pi}{3}h^2(3r-h) \end{eqnarray}$ . Dabei wird $\begin{eqnarray} V=\frac{\pi}{3}r^3 \end{eqnarray}$ (d.h. ein Viertel Kugelvolumen) erreicht für $\begin{eqnarray} h = \left(1-2\cos\left(\frac{4}{9}\pi\right)\right)r\approx 0.6527 r \end{eqnarray}$ - Cardano lässt grüßen. Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte ist entsprechend doppelt so groß.

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