n-dimensionale Matrix

16.08.2022, 08:51	ottobert	Auf diesen Beitrag antworten »
n-dimensionale Matrix Hallo, ich in selber nicht vom Fach, bräuchte von euch aber einmal Hilfe bezüglich einer Frage: Ich bin auf der Suche nach einer Möglichkeit, verschiedene Kombinationen von Elementen darzustellen - vielleicht könnt Ihr mich ja in die richtige Richtung deuten. Eine n-Anzahl von unterschiedlichen Gegenständen (G) soll kombiniert werden. Nummeriert man diese Gegenstände von 1 bis n spricht man also von Gegenstand nummer 1 oder nummer 2 etc... Jetzt würde ich gerne alle Möglichen Kombinationen dieser Gegenstände darstellen. Bei einer Anzahl von zum Beispiel vier Gegenständen ist dies noch relativ einfach: G1; G2; G3; G4; In der Kombination dann: G1,2; G2,3; G3,4; G1,3; G1,4; G2,4; G1,2,3; G2,3,4; G1,2,4; G1,3,4; G1,2,3,4; Das Problem welches ich immer mit einer Matrix hatte, dass in meinem Fall G2,3 und G3,2 die gleiche Kombination darstellt, jedoch beides in der Matrix vorkommt. Da ich selbst nicht so wirklich in der Mathematik tagtäglich unterwegs bin, weiß ich leider nicht weiter... Vielleicht könntet Ihr mir dabei ja helfen? Vielen Dank und viele Grüße
16.08.2022, 09:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dein Beispiel richtig deute, dann suchst du die Anzahl aller Auswahlmöglichkeiten von $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ aus insgesamt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Gegenständen, d.h., Einerauswahlen willst du nicht berücksichtigen. Dann geht es um die Potenzmenge der Gegenstandsmenge (Anzahl $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ ) abzüglích der Einerauswahlen (Anzahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ) sowie der leeren Menge (Anzahl 1), das ergibt $\begin{eqnarray} 2^n-n-1 \end{eqnarray}$ solche Auswahlen, in deinem Fall $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ sind das $\begin{eqnarray} 2^4-4-1 = 11 \end{eqnarray}$ Auswahlen.
16.08.2022, 09:13	ottobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Rückmeldung! Entschuldige Bitte ich hatte mich nicht ganz deutlich ausgedrückt.... Angenommen jedem Gegenstand ist ein Wert zugeordnet. Zum Beispiel ein Preis oder ähnliches... Wie kann ich die Summe der Werte aus allen Kombinationsmöglichkeiten bilden - bzw. in einer Formel abbilden? So hätte ich meine Frage eigentlich formulieren müssen...
16.08.2022, 09:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie "Summe" ? Ordnest du den Gegenständen Werte zu? Davon ist oben keine Rede.
16.08.2022, 09:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
(Ich sehe bei der Vorschau meines Beitrags, daß HAL schon geantwortet hat. Da mein Beitrag noch andere Aspekte berücksichtigt, sende ich ihn dennoch los.) Mir ist nicht ganz klar, was du mit "Matrix" meinst. Du suchst wohl eine Darstellung für deine Kombinationen (ich belasse es einmal bei dieser Wortwahl, auch wenn sie gängiger mathematischer Nomenklatur widerspricht). Eine $\begin{align} n \end{align}$ -elementige Menge besitzt $\begin{align} 2^n \end{align}$ Teilmengen, darunter die leere Menge (Anzahl: 1) und die einelementigen Mengen (Anzahl: $\begin{align} n \end{align}$ ). Die letzten beiden Typen interessieren dich offenbar nicht. Also gibt es $\begin{align} 2^n-n-1 \end{align}$ deiner Kombinationen. Im Falle $\begin{align} n=4 \end{align}$ wären das $\begin{align} 2^4-4-1=11 \end{align}$ Kombinationen. Es gibt eine einfache Beziehung zwischen diesen Teilmengen und den Binärzahlen aus 0 und 1. Die Nummern 1,2,3,4 in deinem Beispiel werden als Überschriften über 4 Spalten geschrieben. Ist nun eine Nummer in deiner Kombination enthalten, so schreibt man eine 1, ansonsten eine 0. Auf diese Weise entsprechen den Binärzahlen von 0000 bis 1111 genau deine Kombinationen. Hier konkret: $\begin{align} \begin{matrix} \text{Binärzahl} & \text{Kombination} \\ 0000 & - \\ 1000 & 1 \\ 0100 & 2 \\ 0010 & 3 \\ 0001 & 4 \\ 1100 & 12 \\ 1010 & 13 \\ 1001 & 14 \\ 0110 & 23 \\ 0101 & 24 \\ 0011 & 34 \\ 1110 & 123 \\ 1101 & 124 \\ 1011 & 134 \\ 0111 & 234 \\ 1111 & 1234 \end{matrix} \end{align}$ Die ersten fünf der Liste kannst du weglassen. Ansonsten mußt du nur algorithmisch die Binärzahlen in einer passenden Art und Weise aufzählen und jeder Binärzahl die Zahlenkombination zuordnen.
16.08.2022, 09:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, betrachten wir das kleinere Beispiel $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ mit dann (nach deinem Schema) $\begin{eqnarray} G_{1,2}, G_{1,3}, G_{2,3}, G_{1,2,3} \end{eqnarray}$ , und Gegenstand $\begin{eqnarray} G_k \end{eqnarray}$ sei Wert $\begin{eqnarray} w_k \end{eqnarray}$ zugeordnet. Meinst du dann mit "Summe über alle Kombinationen" den Wert $\begin{eqnarray} (w_1+w_2) + (w_1+w_3) + (w_2+w_3) + (w_1+w_2+w_3) = 3(w_1+w_2+w_3) \end{eqnarray}$ ? Falls dem so ist: Das ist für allgemeines $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nicht schwer - jeder Gegenstand $\begin{eqnarray} G_k \end{eqnarray}$ kommt in genau $\begin{eqnarray} 2^{n-1} \end{eqnarray}$ der Teilmengen vor, aber da du ja die Einermengen nicht berücksichtigen willst, ist es jeweils eine weniger. Ergibt als Gesamtsumme $\begin{eqnarray} \left(2^{n-1}-1\right)\cdot \left(w_1+\ldots+w_n\right) \end{eqnarray}$ .
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