Koordinatentransformation für Schnittkurve

16.08.2022, 11:03	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation für Schnittkurve Hi Leute Ich lese gerade einen interessanten Text, in dem aus einem hyperbolischen Kegel eine Kurve herausgeschnitten wird mit Hilfe einer Schnittebene im Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Im Folgenden wird eine Koordinatentransformation durchgeführt, um diese Schnittkurve augenscheinlich "platt" auf den Boden zu legen für eine 2-dimensionale Betrachtung dieser Kurve. Genau zu dieser Transformation habe ich allerdings eine Verständnisfrage. [attach]55770[/attach] Bild aus externem Link geholt, verkleinert und als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden, die sind irgendwann ungültig. Steffen Es wird substituiert $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\overline{x}\\\overline{y}\cos(\alpha)\\z_0+\overline{z}-\overline{y}\sin(\alpha)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich das richtig verstehe, dann wird durch das $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse nach oben verschoben, damit es zu $\begin{eqnarray} \overline{z} \end{eqnarray}$ wird und die Winkelfunktionen geben an, dass es zu einer Drehung in der $\begin{eqnarray} (\overline{y},\overline{z}) \end{eqnarray}$ -Ebene kommt um den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ im mathematisch negativen Sinn, wegen dem Minus vor dem Sinus. Wenn ich mir das Bild anschaue, dann verstehe ich auch, woher $\begin{eqnarray} y=\overline{y}\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ kommt. Allerdings verstehe ich nicht so recht, wie sich hier $\begin{eqnarray} \sin(\alpha)=\frac{z_0-z+\overline{z}}{\overline{y}} \end{eqnarray}$ ergibt. Die gesamte Transformation scheint mir sehr "wild" zu sein. Könnt ihr mir das vlt besser erklären, damit ich lerne in Zukunft "freier" zu sein beim Transformieren?
17.08.2022, 10:15	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation für Schnittkurve Um an die Schnittkurve zu kommen, bin ich das ganze anders angegangen: (1) Normalenvektor der x-y-Ebene um den Winkel $\begin{eqnarray} -\alpha \end{eqnarray}$ um die x-Achse drehen (2) Gedrehte Ebene durch $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ laufen lassen und Parameterform bestimmen (3) Parameterform dieser gedrehten Ebene in Funktion des hyperbolischen Kegels eingesetzt Damit komme ich auf das gleiche Ergebnis, als wenn ich die Koordinatentransformation in die Funktion des hyperbolischen Kegels einsetze. Allerdings verstehe ich leider nicht so richtig, wie im ersten Post beschrieben, wie die Transformation zustande kommt. Könnt ihr das vielleicht genauer erklären?
18.08.2022, 11:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koordinaten $\begin{align} y,z \end{align}$ werden offenbar einer affinen Transformation unterworfen: $\begin{align} \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & 0 \\ - \sin(\alpha) & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \bar{y} \\ \bar{z} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ z_0 \end{pmatrix} \end{align}$ Die Matrix beschreibt eine invertierbare lineare Abbildung (wenn $\begin{align} \alpha \end{align}$ nicht gerade $\begin{align} \frac{\pi}{2} \end{align}$ modulo $\begin{align} \pi \end{align}$ ist). Es folgt eine Translation. Und warum die Musterlösung diese Transformation wählt, dazu kann ich nur sagen: Sie funktioniert offenbar und liefert die gewünschte Vereinfachung. Der Matrixteil beschreibt übrigens keine Drehung, denn nur der erste Koordinatenvektor wird gedreht, der zweite bleibt ja. Es liegt keine Bewegung vor. Die Frage, wie jemand auf seinen Ansatz gekommen ist, kann man kaum beantworten. Wie ist Beethoven auf das da-da-da-daaa seiner 5. Sinfonie gekommen? Oder Freddie Mercury auf die paar Töne von "We are the champions"? Kreativität, Intuition, Wiedererinnerung? Die einen bekommen einen Einfall, wenn sie ein Ei in die Pfanne schlagen, die andern unter der Dusche oder auf dem stillen Örtchen. Es soll sogar Leute geben, die nachts von einem Einfall aufwachen und den dann, bevor sie sich wieder ins Bett legen, gleich notieren, damit er am nächsten Morgen nicht im Nirwana der Träume verschwunden ist. Vielleicht war es ja so, daß die Verfasser dieser Lösung genau deinen Weg gegangen sind und Stück für Stück die Koordinaten neu angepaßt haben. Hinterher haben sie den Verlauf dann in einer einzigen Substitution komprimiert. Das kann man prinzipiell immer machen. Aber vielleicht war es auch ganz anders.
29.08.2022, 08:39	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leopold, ich war lange Zeit unterwegs und komme leider erst jetzt wieder dazu mir deine Nachricht anzuschauen und mich wieder in Mathe Themen reinzudenken. Vielen Dank erst einmal für deine Antwort! Kann ich mir also für die Zukunft merken, dass ich die Drehung einer Achse durch Polarkoordinaten in der entsprechenden Komponente durchführen kann? Also Drehung in der y-z-Ebene heißt, dass die Polarkoordinaten bei y und z stehen. Und in der ersten Spalte (y-Spalte) bedeutet, dass ich die y-Achse drehe, weil erste Komponente vom Vektor? Meine Beschreibung wirkt grad mal wieder nicht sehr mathematisch, aber du verstehst was ich meine? Ich versuche für die Zukunft aus solchen Transformationen direkt die affine Abbildung zu bestimmen, ohne Herleitung. Interessant finde ich aber auch, was du meintest, dass es sich nicht um eine euklidische Bewegung handelt. Klar, in y-Richtung gibts ja eine Streckung, richtig? Auf meinem Rechenweg musste ich auch die y-Komponente noch mit $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ multiplizieren, um auf die Darstellung zu kommen. Hätte ich das nicht gemacht, wäre die affine Abbildung dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-\tan(\alpha)&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\z_0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewesen? Aber auch das wäre ja keine euklidische Bewegung, weil die Matrix nicht orthogonal ist, richtig? Wie würde denn eine Bewegung aussehen, die die Schnittkurve in die x-y-Ebene transformiert?

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