Beweis für Gruppe (neutrales Element)

17.08.2022, 10:42

KonverDiv

Beweis für Gruppe (neutrales Element)

Hallo,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x*y = \frac{x+y}{xy+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{R} : -1<x<1\} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist.

Die Assoziativität und das inverse Element habe ich schon geprüft und bestätigen können. Für das neutrale Element würde ich folgendermaßen vorgehen:

$\begin{eqnarray*} x*e = e*x = x \end{eqnarray*}$

damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} x*e =\frac{x + e}{xe+1} = x \end{eqnarray*}$

stelle ich das um, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} e(1+x^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich behaupten, dass für das neutrale Element $\begin{eqnarray*} e = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das wiederum prüfe ich mit $\begin{eqnarray*} x*0 = 0*x = x \end{eqnarray*}$ , was hier anscheinend gilt.

Ist das als Beweis so in Ordnung, oder habe ich etwas missachtet?

17.08.2022, 11:26

IfindU

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RE: Beweis für Gruppe (neutrales Element)
Es genügt, dass du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} e = 0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist wie du es unten getan hast. Die Herleitung ist für dich wichtig, aber nicht für den Beweis.

Interessant ist: Wie hast du gezeigt, dass es ein Inverses gibt, bevor du gezeigt hast dass es ein neutrales Element gibt? verwirrt

17.08.2022, 11:35

KonverDiv

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RE: Beweis für Gruppe (neutrales Element)

Zitat:

Original von IfindU
Interessant ist: Wie hast du gezeigt, dass es ein Inverses gibt, bevor du gezeigt hast dass es ein neutrales Element gibt? verwirrt

Hey IfindU, ich habe mal kühn angenommen, dass mein Ansatz zum neutralen Element richtig ist (war mir aber nicht vollständig sicher) Ups

Danke für deine Antwort Freude

17.08.2022, 11:39

IfindU

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RE: Beweis für Gruppe (neutrales Element)
Der Ansatz passt! Freude

Aber wie gesagt, praktisch musst du niemanden hinter deine Kulissen gucken lassen. Ob du es dir herleitest, rätst oder eine Vision davon hast: Wenn du einen Kandidaten irgendwie bekommst, genügt als Beweis, dass dieser Kandidat tatsächlich die definierende Eigenschaft des neutralen Elements erfüllt.

17.08.2022, 12:31

HAL 9000

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Ja, ist in Ordnung. Etwas komisch ist allerdings, dass du das neutrale Element erst nach dem inversen Element behandelt hast, wo doch für das inverse Element die Kenntnis des neutralen Elements notwendig erscheint...

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Eine interessante alternative Beweis-Möglichkeit ist diese:

Zitat:

Gegeben sei eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sowie auf ihr eine zweistellige Operation *. Außerdem sei $\begin{eqnarray*} G=(A,+) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe. Findet man nun eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} T:\;A\to B \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} T(x + y) = T(x) * T(y) \end{eqnarray*}$ ,

(nennt sich dann "Isomorphismus"), dann ist auch $\begin{eqnarray*} (B,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.

Im vorliegenden Fall wählt man dazu $\begin{eqnarray*} A=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der echten Addition +, $\begin{eqnarray*} B=(-1,1) \end{eqnarray*}$ mit der von dir genannten Operation *, und als bijektive Transformation $\begin{eqnarray*} T(x)=\tanh(x) \end{eqnarray*}$ .

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