Beweisverfahren

17.08.2022, 14:58

Phenix

Beweisverfahren

Meine Frage:
Gegeben ist der Term, T = n² /(n+1)

a) Gibt es für alle g a n z z a h l i g e n Werte von n > 0 (positive) ganzzahlige Werte für T ? (bitte begründen! )

b) Warum gibt es für ganzzahlige Werte von n < 0 nur einen (negativen) Wert T. Welchen Wert hat T ?

Meine Ideen:
a) für n > 0: T/n = n/n+1 => immer rationale Zahl, also Antwort NEIN
b) für n < 0: T/n = n/n+1 => immer rationale Zahl, außer für n = -2

Ist das Begründung/Beweis genug?

17.08.2022, 15:23

polydiv

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Ich sehe nicht, wo in deinen Ansätzen logische Begründungen stecken.

Als Hinweis kann ich anbieten, dass man den Term n²/(n+1) durch eine Polynomdivision umschreiben könnte.
Mit der sich dadurch ergebenden Darstellungsform sind die Fragen einfach zu beantworten/zu begründen.

17.08.2022, 15:34

Phenix

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Zitat:

Original von polydiv
Ich sehe nicht, wo in deinen Ansätzen logische Begründungen stecken.

Als Hinweis kann ich anbieten, dass man den Term n²/(n+1) durch eine Polynomdivision umschreiben könnte.
Mit der sich dadurch ergebenden Darstellungsform sind die Fragen einfach zu beantworten/zu begründen.

Oh super, dann schreibe mal bitte um, vielen Dank

17.08.2022, 15:39

polydiv

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Magst du das nicht selbst versuchen oder hast du bisher noch keine Polynomdivision gemacht ?

17.08.2022, 16:49

Helferlein

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Alternativ kannst Du Dir auch einfach mal Gedanken machen, wie sich der Term für gerade und ungerade Zahlen n darstellt.

17.08.2022, 16:59

Phenix

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Zitat:

Original von polydiv
Magst du das nicht selbst versuchen oder hast du bisher noch keine Polynomdivision gemacht ?

Ich bin der Meinung, dass wenn n/n+1 keine ganzen Zahlen darstellt, auch
n * (n/n+1) keine ganzen Zahlen darstellt und somit T keine ganzen Zahlen als Ergebnis haben kann (q.e.d.)-

PS: Polynome musste ich bisher noch nicht dividieren und ich denke, dass das wahrscheinlich hier nicht notwendig ist, würde mich aber gerne von dir vom Gegenteil überzeugen lassen.

17.08.2022, 17:13

Phenix

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Zitat:

Original von Helferlein
Alternativ kannst Du Dir auch einfach mal Gedanken machen, wie sich der Term für gerade und ungerade Zahlen n darstellt.

Mit n+1 werden sowohl gerade als auch ungerade Zahlen erzeugt, das Problem scheint aber vielmehr darin zu bestehen, dass (n^2)/n+1, bis auf eine Ausnahme (n = -2), gar keine ganze Zahlen liefert, was aber bewiesen werden soll. Kannst du es denn besser als ich beweisen?

17.08.2022, 17:29

polydiv

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Zitat:

Ich bin der Meinung, dass wenn n/n+1 keine ganzen Zahlen darstellt, auch n * (n/n+1) keine ganzen Zahlen darstellt

Etwas denken oder meinen ist schön und gut, in der Mathematik musst du das jedoch unumstößlich begründen.
Du hast übrigens im Nenner die Klammern vergessen, n/n+1 ist 1+1, also 2.
Warum kann denn $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ für n aus IN keine ganze Zahl sein ?
Was müsste denn passieren, damit $\begin{eqnarray*} n \cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl wird ?

Vermutlich hast du deine These mit ein paar Zahlen getestet und das reicht dir um zu sagen, dass es wohl stimmen muss - sehe ich das richtig ?

Zitat:

a) Gibt es für alle g a n z z a h l i g e n Werte von n > 0 (positive) ganzzahlige Werte für T ? (bitte begründen! )

Es sei auch noch erwähnt, dass wenn das wirklich der Originallaut der Aufgabenstellung ist, es auch einfach genügen würde dieses "für alle" mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen.
Interessanter wäre es in meinen Augen, wenn man allgemein nur nach der Existenz eines ganzzahligen Wertes für T fragen würde.

Zu Helferleins Anregung :

Betrachte für gerade Zahlen den Fall n=2k und für ungerade Zahlen den Fall n=2k-1 mit k > 0 aus den natürlichen Zahlen IN.
Mit "Betrachten" meine ich "Einsetzen" und vereinfachen.

17.08.2022, 17:36

HAL 9000

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Der Tipp von polydiv für einen einfachen und klaren Beweis steht schon ewig im Thread, er muss nur befolgt werden: Mit Polynomdivision folgt $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1} = \frac{n^2-1+1}{n+1} = n-1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ , daher gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1}\in\mathbb{Z} \,\Leftrightarrow\, \frac{1}{n+1}\in\mathbb{Z}\,\Leftrightarrow\, (n+1)\mid 1\,\Leftrightarrow\, n+1=\pm 1\,\Leftrightarrow\, n\in\{0,-2\} \end{eqnarray*}$

17.08.2022, 18:06

Phenix

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Zitat:

Original von polydiv

Zitat:

Ich bin der Meinung, dass wenn n/n+1 keine ganzen Zahlen darstellt, auch n * (n/n+1) keine ganzen Zahlen darstellt

Zitat:

a) Gibt es für alle g a n z z a h l i g e n Werte von n > 0 (positive) ganzzahlige Werte für T ? (bitte begründen! )

Ich MEINE nicht, dass n/(n+1) keine ganzen Zahlen generieren kann, sondern ich weiß es, weil, wenn der Nenner immer um 1 erweitert wird, sich Zähler und Nenner immer um 1 unterscheiden und der Quotient keine ganze Zahlen liefern kanN, sondern NUR Brüche. Wenn diese Brüche mit n multipliziert werden, können wiederum nur Brüche entstehen, weil n zu n+1 teilerfremd ist, also kann aus (n^2/(n+1) immer nur Brüche und keine ganzen Zahlen entstehen …

17.08.2022, 18:21

Phenix

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Zitat:

Original von HAL 9000
Der Tipp von polydiv für einen einfachen und klaren Beweis steht schon ewig im Thread, er muss nur befolgt werden: Mit Polynomdivision folgt $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1} = \frac{n^2-1+1}{n+1} = n-1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ , daher gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1}\in\mathbb{Z} \,\Leftrightarrow\, \frac{1}{n+1}\in\mathbb{Z}\,\Leftrightarrow\, (n+1)\mid 1\,\Leftrightarrow\, n+1=\pm 1\,\Leftrightarrow\, n\in\{0,-2\} \end{eqnarray*}$

Super, du hast (n^2/(n+1) intelligent umgeformt, aber eine Polynomdivision konnte ich keine erkennen und auf dein Ergebnis bin ich durch meine Art der Umformung auch gekommen, nämlich auf n = -2, die 0 war ja ausgeschlossen.

17.08.2022, 18:36

polydiv

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Zitat:

Polynome musste ich bisher noch nicht dividieren und ich denke, dass das wahrscheinlich hier nicht notwendig ist, würde mich aber gerne von dir vom Gegenteil überzeugen lassen.

Zitat:

Du meinst eventuell das Richtige, kannst es sprachlich aber noch nicht korrekt rüberbringen :

1.) Erweiteren heißt bei Brüchen etwas anderes, sage stattdessen einfach "um 1 vergrößert"

2.) Brüche sind auch sowas wie 5/5 oder 4/2 usw. Es geht aber gerade um die Art von Brüchen a/b mit ggt(a,b)=1, also wo a und b teilerfremd und damit nicht kürzbar sind. Das müsstest du daher an den drei entsprechenden Stellen noch verbessern.

@ Phenix und HAL

Warum geht ihr euch denn nicht einfach aus dem Weg, wenn ihr euch nicht versteht ?
Diese unangenehmen Situationen wie in dem anderen Thread werden damit doch immer wieder passieren...

17.08.2022, 19:09

Phenix

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Zitat:

Original von polydiv

Zitat:

Polynome musste ich bisher noch nicht dividieren und ich denke, dass das wahrscheinlich hier nicht notwendig ist, würde mich aber gerne von dir vom Gegenteil überzeugen lassen.

Zitat:

Original von polydiv
[QUOTE]Polynome musste ich bisher noch nicht dividieren und ich denke, dass das wahrscheinlich hier nicht notwendig ist, würde mich aber gerne von dir vom Gegenteil überzeugen lassen.

Die ausführliche Polynomdivision für Neulinge wie Phenix:

........n² : (n+1) = n - 1 + 1/(n+1)
- (n²+n)
-------------
....... - n
.... - (-n-1)
--------------
...........1

Sieht zwar nicht so hübsch aus, aber ich hoffe es wird deutlich, dass es eigentlich genau so funktioniert wie eine schriftliche Division mit natürlichen Zahlen.

[QUOTE]

Danke und bitte, ganz entspannt bleiben. Mir ist einiges klarer geworden.
In diesem Fall meinte ich mit „Brüchen“ natürlich rationale Zahlen im Gegensatz zu den ganzen Zahlen, die mit (n^2)/(n+1), für n >1 bzw. n < 1, bis auf eine Ausnahme, nicht entstehen können.
Schönen Tag noch allerseits … Wink

17.08.2022, 19:38

polydiv

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Zitat:

...meinte ich mit „Brüchen“ natürlich rationale Zahlen im Gegensatz zu den ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen dazu.
Man sagt auch "die Menge der ganzen Zahlen Z ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen Q".

Genau so gehören z.B. auch die natürlichen Zahlen ebenso zu den ganzen Zahlen oder die rationalen Zahlen gehören zu den reellen Zahlen.

Grafiken, wie diese hier, machen das anschaulich :

media.studienkreis.de/assets/courses/media/zahlenmengen-ca.png

Falls du noch an dem Gedanken von Helferlein interessiert bist:

Angenommen n ist eine gerade Zahl der Form n=2k, dann gilt :

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1}=\frac{(2k)^2}{2k+1}=\frac{4k^2}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Im Zähler steht damit eine gerade Zahl (da durch 2 teilbar) und im Nenner eine ungerade Zahl.
Vollständig kürzbar ist dieser Bruch also in jedem Fall nicht, denn der Faktor 2 (oder auch 4) im Zähler wird im Nenner nie auftauchen.

Analog kann man den Term für ein ungerades n=2k-1 betrachten, wodurch andersrum nun im Zähler eine ungerade und im Nenner eine gerade Zahl entstehen wird.

Vermutlich bist du mit einer Lösungsmethode schon mehr als zufrieden, aber es schadet ja nicht auch mal etwas von anderen Seiten zu beleuchten.

17.08.2022, 20:11

Phenix

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Edit (mY+): Bitte KEINE Vollzitate. Diese sind unerwünscht und werden entfernt.

Eine sehr überzeugende Beweisführung, vielen herzlichen Dank.

17.08.2022, 20:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von polydiv
Angenommen n ist eine gerade Zahl der Form n=2k, dann gilt :

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1}=\frac{(2k)^2}{2k+1}=\frac{4k^2}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Im Zähler steht damit eine gerade Zahl (da durch 2 teilbar) und im Nenner eine ungerade Zahl.
Vollständig kürzbar ist dieser Bruch also in jedem Fall nicht, denn der Faktor 2 (oder auch 4) im Zähler wird im Nenner nie auftauchen.

Damit der Bruch eine ganze Zahl darstellt, muss der Nenner vollständig weggekürzt werden - der Zähler jedoch nicht notwendig. Insofern überzeugt mich diese Argumentatíon nicht.

Anders bei ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , da klappt dieser Gedanke.

18.08.2022, 10:09

polydiv

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Vielen Dank für den Hinweis. Freude

Natürlich geht es für das Erzeugen einer ganzen Zahl nur darum, dass sich der Nennerterm vollständig wegkürzt.

Ich sehe jetzt gerade ehrlich gesagt auch nicht mehr den Vorteil der Betrachtung von geraden und ungeraden Zahlen für n, denn dass der Term $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1} \end{eqnarray*}$ im Zähler keinen mit dem Nenner kürzbaren Faktor (n+1) besitzt, das sieht man ja auch schon im ursprünglichen Term.

Vielleicht mag Helferlein ja genauer erläutern, was er genau meinte oder ggf. kann es HAL ebenso erahnen.

18.08.2022, 10:14

HAL 9000

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Da ich den obigen Beweis favorisiere, ist mein Elan hinsichtlich der anderen Beweise, die bisher allesamt deutlich größere Klimmzüge der Begründung machen müssen, deutlich gedämpft. Augenzwinkern

18.08.2022, 17:15

Helferlein

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Dann versuche ich mal einen Nachtrag zu n=2k zu bringen :

Da $\begin{eqnarray*} 4k^2=(2k+1)(2k-1)+1 \end{eqnarray*}$ lässt $\begin{eqnarray*} 4k^2 \end{eqnarray*}$ beim Teilen durch $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ den Rest 1.
$\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ ist also kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 4k^2 \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} |2k+1| \neq 1 \end{eqnarray*}$ .
Der Bruch ist dann nicht vollständig kürzbar.

Aber ja: Ich hatte zuerst auch gedacht, da n=2k+1 direkt ungerade durch gerade liefert müsste der umgekehrte Weg auch so schnell gehen.

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